Etudes de fonctions

1. Représentation de la fonction sur la calculatrice.

2. On lit graphiquement les solutions de $f(x)=0$ : $x \approx -2$, $x \approx -1$ et $x \approx 0.14$.

3. Vérifions pour $x_1 = -2$ et $x_2 = -1$ :
$f(-2) = (-2)^3 + \frac{20}{7}(-2)^2 + \frac{11}{7}(-2) - \frac{2}{7} = -8 + \frac{80}{7} - \frac{22}{7} - \frac{2}{7} = -8 + \frac{56}{7} = -8+8= $ $0$.
$f(-1) = (-1)^3 + \frac{20}{7}(-1)^2 + \frac{11}{7}(-1) - \frac{2}{7} = -1 + \frac{20}{7} - \frac{11}{7} - \frac{2}{7} = -1 + \frac{7}{7} = -1+1= $ $0$.
Donc $-2$ et $-1$ sont bien des solutions exactes.

4. On a $f(x) = (x - (-2))(x - (-1))(x-a) = (x+2)(x+1)(x-a) = (x^2+3x+2)(x-a)$.
En développant, on obtient $f(x) = x^3 + (3-a)x^2 + (2-3a)x - 2a$.
Par identification avec l'expression initiale $f(x) = x^3 + \frac{20}{7}x^2 + \frac{11}{7}x - \frac{2}{7}$, on regarde le terme constant :
$-2a = -\frac{2}{7} \implies a = $ $\frac{1}{7}$.

$f(-2)=$ $-7$; $f(0)=$ $-5$; $f(3)=$ $-2$
$g(-2)=$ $-10$; $g(0)=$ $0$; $g(3)=$ $15$
$h(-2)=$ $-4$; $h(0)=$ $2$; $h(3)=$ $11$
$i(-2)=$ $-\frac{1}{3}$; $i(0)=$ $\frac{1}{3}$; $i(3)=$ $\frac{4}{3}$
$j(-2)=$ $11$; $j(0)=$ $7$; $j(3)=$ $1$
$s(-2)=$ $4$; $s(0)=$ $0$; $s(3)=$ $9$
$t(-2)=$ $-17$; $t(0)=$ $-1$; $t(3)=$ $98$
$u(-2)=$ $-3$; $u(0)=$ $-\frac{1}{3}$; $u(3)=$ $\frac{2}{9}$
$v(-2)$ n'existe pas; $v(0)=$ $0$; $v(3)=$ $\sqrt{3}$

Faux. Sur $[0;4]$, la fonction $f$ est croissante. Comme $1 < 3$, on a $f(1) \le f(3)$.
Vrai. Sur $[-7;-1]$, $f$ est décroissante, donc pour tout $x \in ]-7;-1[$, on a $f(x) < f(-7)=2$. Comme $-6 \in ]-7;-1[$, on a bien $f(-6)<2$.
On ne peut pas savoir. Sur $[-10;-7]$, $f$ est croissante. Sur $[-7;-1]$, $f$ est décroissante. Comme $-9$ et $-6$ ne sont pas dans le même intervalle de monotonie, on ne peut pas comparer leurs images.
Vrai. Sur $[-7;0]$, $f$ est décroissante. Comme $-5 < -3$, on a $f(-5) > f(-3)$.
Vrai. Sur $[-10;-7]$, $f$ est croissante de $1$ à $2$. Sur $[-7;4]$, le maximum est $f(-7)=2$. Donc $2$ est bien le maximum sur $[-10;4]$.
Faux. On sait que $f(-10)=1$ et $f(10)=1$. Mais $f$ étant continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe aussi un antécédent dans $]-7;-1[$ car $f$ varie de $2$ à $0$, et un autre dans $]4;6[$ car $f$ varie de $0$ à $3$. Il y a donc au moins 4 antécédents pour $1$.

2. Représentation graphique possible :

1. Comment construire le tableau de variation :

Domaine de définition :
On commence par les bornes. L'énoncé indique que $f$ est définie sur $[-6 ; 10]$, ce qui nous donne le début et la fin de la ligne des $x$.
Sens de variation :
On trace les flèches. La fonction est décroissante sur $[-6 ; -2]$ et $[4 ; 10]$, et croissante sur $[-2 ; 4]$.
Images et points remarquables :
On place les valeurs connues aux extrémités des flèches et aux points importants : $f(-6)=4$, $f(-2)=-1$, $f(4)=6$, $f(10)=3$. On ajoute aussi les zéros ($f(-4)=0$, $f(-1)=0$), l'ordonnée à l'origine ($f(0)=1$) et le point de passage ($f(6)=5$) pour compléter le tableau.

2.
a) Sur $[0;6]$, le minimum est $f(0)=$ $1$ et le maximum est $f(4)=$ $6$.
b) Sur $[-6;4]$, le maximum est $f(4)=$ $6$. Il est atteint en $x=$ $4$.