Généralités sur les fonctions, lectures graphiques

1. Les images de $-3$, $0$ et $3$ par $f$ sont environ $0$, $-3$ et $3$. On peut écrire: $f(-3) \approx 0$ ; $f(0) \approx -3$ ; $f(3) \approx 3$.

2. Les antécédents de $-1$ et $2$ par $f$ sont environ $-1$ et $5$. Le nombre $1$ n'a pas d'antécédent par $f$.

3. Pour identifier la bonne fonction, on teste les valeurs lues sur le graphique ($f(0) \approx -3$) avec chaque expression :

1. Pour $x \mapsto 3x+2$ : l'image de $0$ est $3 \times 0 + 2 = 2$. Or, graphiquement $f(0) \approx -3$. Cette fonction n'est pas la bonne.
2. Pour $x \mapsto 3x^3+2x^2-1$ : l'image de $0$ est $3(0)^3 + 2(0)^2 - 1 = -1$. Or, graphiquement $f(0) \approx -3$. Cette fonction n'est pas la bonne.
3. Pour $x \mapsto \frac{x+3}{x-1}$ :
   1. L'image de $0$ est $\frac{0+3}{0-1} = -3$. Cela correspond à la lecture graphique.
   2. L'image de $-3$ est $\frac{-3+3}{-3-1} = \frac{0}{-4} = 0$. Cela correspond à la lecture graphique.
   3. L'image de $3$ est $\frac{3+3}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$. Cela correspond à la lecture graphique.
   C'est donc la bonne fonction. La fonction est bien $f(x) = \frac{x+3}{x-1}$.

1. Le domaine de définition de $f$ est $[-4; 7]$.

2. $f(5) = -1$ et $f(-4)=5$.

3. Les antécédents de $0$ sont $4$ et $7$. Les antécédents de $2$ sont $-3$, $-1$ et $3$.

4. $S = \{-3; -1; 3\}$.

5. Tableau de variation :

6. Sur $[-1; 3]$, $f$ atteint son maximum $4$ en $x=1$.

1. $D_f = [-2;-1[ \cup ]-1;1[ \cup ]1;2]$.

2. $f(0) = 1$.

3. Les antécédents de $1$ sont $-2$, $0$ et $2$.

4. Tableau de variation :

5. $f$ est positive sur $[-2;-1,3] \cup [-1; 0,6] \cup ]1; 2]$.

1. Si $k \in ]-\infty; -2,6[ \cup ]2,5; +\infty[$, alors $f(x)=k$ n'a aucune solution.
2. Si $k \in [-2,6; -1,4[$, alors $f(x)=k$ a 1 solution.
3. Si $k \in \{-1,4; 2,5\}$, alors $f(x)=k$ a 2 solutions.
4. Si $k \in ]-1,4; -1,2[$, alors $f(x)=k$ a 3 solutions.
5. Si $k \in [-1,2; 2,5[$, alors $f(x)=k$ a 4 solutions.