Exercice 1 : Inéquation quotient simple
Résoudre les inéquations suivantes.
1) \( \frac{x+3}{x-2} \le 0 \)
2) \( \frac{5}{-2x+5} > 0 \)
Corrigé de l'Exercice 1
1) Résolution de \( \frac{x+3}{x-2} \le 0 \)
Racine du numérateur : \( x = -3 \)
Valeur interdite (dénominateur) : \( x = 2 \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x + 3\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x - 2\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| Quotient | \(+\) | \(0\) | \(-\) | || | \(+\) |
On cherche où le quotient est négatif ou nul (\(\le 0\)).
L'ensemble des solutions est \( S = [-3; 2[ \).
2) Résolution de \( \frac{5}{-2x+5} > 0 \)
Le numérateur \(5\) est toujours positif. Le signe du quotient est donc le signe du dénominateur.
Valeur interdite : \( -2x+5 = 0 \implies x = \frac{5}{2} \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{5}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}-2}x + 5\) | \(+\) | 0 | \(\color{red}{-}\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(-\) |
On cherche où le quotient est strictement positif (> 0).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; \frac{5}{2}[ \).
Exercice 2 : Se ramener à zéro
Résoudre les inéquations suivantes.
1) \( \frac{3x}{x+1} \ge 1 \)
2) \( \frac{x-5}{x-2} < \frac{2}{3} \)
Corrigé de l'Exercice 2
1) Résolution de \( \frac{3x}{x+1} \ge 1 \)
On se ramène à zéro : \( \frac{3x}{x+1} - 1 \ge 0 \implies \frac{3x - (x+1)}{x+1} \ge 0 \implies \frac{2x-1}{x+1} \ge 0 \)
Racine : \( x = \frac{1}{2} \), Valeur interdite : \( x = -1 \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}2}x - 1\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x + 1\) | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
On cherche où le quotient est positif ou nul (\(\ge 0\)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -1[ \cup [\frac{1}{2}; +\infty[ \).
2) Résolution de \( \frac{x-5}{x-2} < \frac{2}{3} \)
On se ramène à zéro : \( \frac{x-5}{x-2} - \frac{2}{3} < 0 \implies \frac{3(x-5) - 2(x-2)}{3(x-2)} < 0 \implies \frac{x-11}{3(x-2)} < 0 \)
Racine : \( x = 11 \), Valeur interdite : \( x = 2 \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(11\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x - 11\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x - 2\) | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
On cherche où le quotient est strictement négatif.
L'ensemble des solutions est \( S = ]2; 11[ \).
Exercice 3 : Inéquation avec carré
Résoudre les inéquations suivantes.
1) \( \frac{x^2-1}{-3x+2} \le 0 \)
2) \( \frac{x^2-7}{(x-5)^2} \ge 0 \)
Corrigé de l'Exercice 3
1) Résolution de \( \frac{x^2-1}{-3x+2} \le 0 \)
On factorise : \( \frac{(x-1)(x+1)}{-3x+2} \le 0 \)
Racines : \( x=1, x=-1 \), Valeur interdite : \( x = \frac{2}{3} \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(\frac{2}{3}\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x + 1\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x - 1\) | \(-\) | | | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}-3}x + 2\) | \(+\) | | | \(+\) | 0 | \(-\) | | | \(-\) | ||
| Quotient | \(+\) | \(0\) | \(-\) | || | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le quotient est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = [-1; \frac{2}{3}[ \cup [1; +\infty[ \).
2) Résolution de \( \frac{x^2-7}{(x-5)^2} \ge 0 \)
On factorise le numérateur : \( \frac{(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})}{(x-5)^2} \ge 0 \)
Racines : \( x=\sqrt{7}, x=-\sqrt{7} \), Valeur interdite : \( x = 5 \)
On ordonne les valeurs : \( -\sqrt{7} \approx -2.65 < \sqrt{7} \approx 2.65 < 5 \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\sqrt{7}\) | \(\sqrt{7}\) | \(5\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x+\sqrt{7}\) | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(x-\sqrt{7}\) | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \((x-5)^2\) | \(+\) | | | \(+\) | | | \(+\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| Quotient | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | || | \(+\) |
On cherche où le quotient est positif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; 5[ \cup ]5; +\infty[ \).
Exercice 4 : Comparaison de quotients
Résoudre l'inéquation suivante : \( \frac{2x+3}{x+2} \le \frac{x+2}{2x+3} \)
Corrigé de l'Exercice 4
On se ramène à zéro : \( \frac{2x+3}{x+2} - \frac{x+2}{2x+3} \le 0 \)
On met au même dénominateur : \( \frac{(2x+3)^2 - (x+2)^2}{(x+2)(2x+3)} \le 0 \)
On factorise le numérateur (identité remarquable a²-b²) : \( \frac{((2x+3)-(x+2))((2x+3)+(x+2))}{(x+2)(2x+3)} \le 0 \)
Ce qui donne : \( \frac{(x+1)(3x+5)}{(x+2)(2x+3)} \le 0 \).
Racines : \( x=-1, x=-\frac{5}{3} \). Valeurs interdites : \( x=-2, x=-\frac{3}{2} \)
On ordonne les valeurs : \( -2 < -\frac{5}{3} \approx -1.67 < -\frac{3}{2} = -1.5 < -1 \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(-\frac{5}{3}\) | \(-\frac{3}{2}\) | \(-1\) | \(+\infty\) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x+1\) | \(-\) | | | \(-\) | | | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(3x+5\) | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(x+2\) | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(2x+3\) | \(-\) | | | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(-\) | 0 | \(+\) | || | \(-\) | 0 | \(+\) |
On cherche où le quotient est négatif ou nul (\(\le 0\)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-2; -\frac{5}{3}] \cup ]-\frac{3}{2}; -1] \).
Exercice 5 : Synthèse
Résoudre l'inéquation suivante : \( \frac{1}{x} \le 2 \)
Corrigé de l'Exercice 5
On se ramène à zéro : \( \frac{1}{x} - 2 \le 0 \implies \frac{1 - 2x}{x} \le 0 \)
Racine : \( x=\frac{1}{2} \). Valeur interdite : \( x=0 \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}-2}x + 1\) | \(+\) | | | \(+\) | \(0\) | \(\color{red}{-}\) | ||
| \({\color{red}1}x\) | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| Quotient | \(-\) | || | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le quotient est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; 0[ \cup [\frac{1}{2}; +\infty[ \).