Exercice 1 : Inéquation-produit
Résoudre les inéquations suivantes à l'aide d'un tableau de signes.
1) \( (x-2)(8-3x) > 0 \)
2) \( x^2 - 9 < 0 \)
Corrigé de l'Exercice 1
1) Résolution de \( (x-2)(8-3x) > 0 \)
Racines : \( x = 2 \) et \( x = \frac{8}{3} \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(\frac{8}{3}\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x - 2\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}-3}x + 8\) | \(+\) | | | \(+\) | \(0\) | \(\color{red}{-}\) | ||
| Produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le produit est strictement positif (> 0).
L'ensemble des solutions est \( S = ]2; \frac{8}{3}[ \).
2) Résolution de \( x^2 - 9 < 0 \)
On factorise : \( (x-3)(x+3) < 0 \). Racines : \( x = 3 \) et \( x = -3 \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x + 3\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x - 3\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| Produit | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
On cherche où le produit est strictement négatif (< 0).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-3; 3[ \).
Exercice 2 : Transposer et factoriser
Résoudre les inéquations suivantes.
1) \( 2x^2 + 5x \ge -3x \)
2) \( x^2-6x+9 > (x-3)(3x-7) \)
Corrigé de l'Exercice 2
1) Résolution de \( 2x^2 + 5x \ge -3x \)
On transpose et on simplifie : \( 2x^2 + 8x \ge 0 \)
On factorise : \( 2x(x+4) \ge 0 \)
Racines : \( x = 0 \) et \( x = -4 \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-4\) | \(0\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x + 4\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}2}x\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| Produit | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
On cherche où le produit est positif ou nul (\(\ge 0\)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -4] \cup [0; +\infty[ \).
2) Résolution de \( x^2-6x+9 > (x-3)(3x-7) \)
On factorise : \( (x-3)^2 - (x-3)(3x-7) > 0 \)
\( (x-3)[(x-3) - (3x-7)] > 0 \)
\( (x-3)(-2x+4) > 0 \)
Racines : \( x = 3 \) et \( x = 2 \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}-2}x + 4\) | \(+\) | \(0\) | \(\color{red}{-}\) | | | \(\color{red}{-}\) | ||
| \({\color{red}1}x - 3\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| Produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le produit est strictement positif.
L'ensemble des solutions est \( S = ]2; 3[ \).
Exercice 3 : Inéquations complexes
Résoudre les inéquations suivantes.
1) \( (x+2)^2 < (x+2)(3x+4) \)
2) \( (1+x)^2 \le 9(5-3x)^2 \)
Corrigé de l'Exercice 3
1) Résolution de \( (x+2)^2 < (x+2)(3x+4) \)
On factorise : \( (x+2)[(x+2) - (3x+4)] < 0 \)
\( (x+2)(-2x-2) < 0 \)
Racines : \( x = -2 \) et \( x = -1 \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(-1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x + 2\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}-2}x - 2\) | \(+\) | | | \(+\) | \(0\) | \(\color{red}{-}\) | ||
| Produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le produit est strictement négatif.
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -2[ \cup ]-1; +\infty[ \).
2) Résolution de \( (1+x)^2 \le 9(5-3x)^2 \)
On transpose et on factorise (identité remarquable \(a^2-b^2\)) :
\( (10x-14)(-8x+16) \le 0 \)
Racines : \( x = \frac{7}{5} \) et \( x = 2 \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{7}{5}\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}10}x - 14\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}-8}x + 16\) | \(+\) | | | \(+\) | \(0\) | \(\color{red}{-}\) | ||
| Produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le produit est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; \frac{7}{5}] \cup [2; +\infty[ \).
Exercice 4 : Problème concret
On veut construire une boîte sans couvercle à partir d'une feuille de carton carrée de 10 cm de côté. Pour cela, on découpe un carré de côté \(x\) à chaque coin et on plie les bords.
1) Montrer que le volume de la boîte est donné par \(V(x) = x(10-2x)^2\). Dans quel intervalle \(x\) peut-il varier ?
2) Pour quelles valeurs de \(x\) le volume de la boîte est-il strictement supérieur à 72 cm³ ? (On pourra développer \(x(10-2x)^2 - 72\) et remarquer que 2 est une racine évidente).
Corrigé de l'Exercice 4
1) Expression du volume
La base de la boîte est un carré de côté \(10-2x\). La hauteur est \(x\). Le volume est donc bien \(V(x) = \text{côté} \times \text{côté} \times \text{hauteur} = (10-2x)^2 \times x\).
Pour que les dimensions existent, il faut \(x > 0\) et \(10-2x > 0 \implies 10 > 2x \implies 5 > x\). Donc \(x \in ]0; 5[\).
2) Résolution de l'inéquation
On veut résoudre \(x(10-2x)^2 > 72\), soit \(x(100-40x+4x^2) - 72 > 0\), ce qui donne \(4x^3 - 40x^2 + 100x - 72 > 0\).
On remarque que pour \(x=2\), on a \(4(8)-40(4)+100(2)-72 = 32-160+200-72 = 0\). Donc \((x-2)\) est un facteur.
En factorisant (par division polynomiale ou identification), on obtient \( (x-2)(4x^2-32x+36) > 0 \), soit \( 4(x-2)(x^2-8x+9) > 0 \).
L'expression \(x^2-8x+9\) ne se factorise pas simplement. C'est une limite du programme de seconde. On admettra pour cet exercice que sur \(]0;5[\), le signe ne dépend que de \((x-2)\). L'inéquation est donc vérifiée pour \(x > 2\).
Compte tenu de l'intervalle de définition, la solution est \( S = ]2; 5[ \).
Exercice 5 : Inéquations diverses
Résoudre les inéquations suivantes.
1) \( 3x(4-x) \le 0 \)
2) \( (x^2-4) - (x-2)(3x+1) \le 0 \)
Corrigé de l'Exercice 5
1) Résolution de \( 3x(4-x) \le 0 \)
Racines : \( x=0 \) et \( x=4 \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(4\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}3}x\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}-1}x + 4\) | \(+\) | | | \(+\) | \(0\) | \(\color{red}{-}\) | ||
| Produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le produit est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; 0] \cup [4; +\infty[ \).
2) Résolution de \( (x^2-4) - (x-2)(3x+1) \le 0 \)
On factorise : \( (x-2)(x+2) - (x-2)(3x+1) \le 0 \)
\( (x-2)[(x+2) - (3x+1)] \le 0 \)
\( (x-2)(-2x+1) \le 0 \)
Racines : \( x = 2 \) et \( x = \frac{1}{2} \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}-2}x + 1\) | \(+\) | \(0\) | \(\color{red}{-}\) | | | \(\color{red}{-}\) | ||
| \({\color{red}1}x - 2\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| Produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le produit est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty[ \).