Équations Quotients

1) Résolution de \( \frac{3x+1}{x-5} = 0 \)

Valeur interdite : Le dénominateur ne peut pas être nul, donc \( x-5 \neq 0 \), soit \( x \neq 5 \).

Résolution : Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.
\( 3x+1 = 0 \)
\( 3x = -1 \)
\( x = -\frac{1}{3} \)

La solution \( -\frac{1}{3} \) n'est pas la valeur interdite. L'ensemble des solutions est donc \( S = \{-\frac{1}{3}\} \).

2) Résolution de \( \frac{x^2-49}{x+7} = 0 \)

Valeur interdite : \( x+7 \neq 0 \), soit \( x \neq -7 \).

Résolution : On cherche les racines du numérateur.
\( x^2 - 49 = 0 \)
On factorise en utilisant l'identité remarquable \( a^2-b^2 \):
\( (x-7)(x+7) = 0 \)
Les solutions sont \( x=7 \) ou \( x=-7 \).

Cependant, \( x=-7 \) est une valeur interdite. On doit donc l'exclure.
L'ensemble des solutions est \( S = \{7\} \).

1) Résolution de \( \frac{2x+3}{x-1} = 3 \)

Valeur interdite : \( x-1 \neq 0 \), soit \( x \neq 1 \).

Résolution : On se ramène à une équation-quotient nulle.
\( \frac{2x+3}{x-1} - 3 = 0 \)
On met tout au même dénominateur :
\( \frac{2x+3}{x-1} - \frac{3(x-1)}{x-1} = 0 \)
\( \frac{(2x+3) - 3(x-1)}{x-1} = 0 \)
\( \frac{2x+3 - 3x+3}{x-1} = 0 \)
\( \frac{-x+6}{x-1} = 0 \)

Le numérateur doit être nul : \( -x+6=0 \), soit \( x=6 \).
Cette valeur n'est pas interdite.

L'ensemble des solutions est \( S = \{6\} \).

2) Rapport de deux nombres

On traduit l'énoncé par l'équation : \( \frac{x+5}{x-3} = 2 \)

Valeur interdite : \( x-3 \neq 0 \), soit \( x \neq 3 \).

Résolution :
\( \frac{x+5}{x-3} - 2 = 0 \)
\( \frac{x+5 - 2(x-3)}{x-3} = 0 \)
\( \frac{x+5 - 2x+6}{x-3} = 0 \)
\( \frac{-x+11}{x-3} = 0 \)

Le numérateur doit être nul : \( -x+11 = 0 \), soit \( x=11 \).
Cette valeur n'est pas interdite.

Le rapport est égal à 2 pour \( x = 11 \).

1) Résolution de \( \frac{x+1}{x-5} = \frac{x-1}{x+3} \)

Valeurs interdites : \( x-5 \neq 0 \) et \( x+3 \neq 0 \), donc \( x \neq 5 \) et \( x \neq -3 \).

Résolution :
\( \frac{x+1}{x-5} - \frac{x-1}{x+3} = 0 \)
On met au dénominateur commun \( (x-5)(x+3) \):
\( \frac{(x+1)(x+3)}{(x-5)(x+3)} - \frac{(x-1)(x-5)}{(x-5)(x+3)} = 0 \)
\( \frac{(x^2+3x+x+3) - (x^2-5x-x+5)}{(x-5)(x+3)} = 0 \)
\( \frac{x^2+4x+3 - x^2+6x-5}{(x-5)(x+3)} = 0 \)
\( \frac{10x-2}{(x-5)(x+3)} = 0 \)

Numérateur nul : \( 10x-2 = 0 \), soit \( x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).
La solution n'est pas interdite.

L'ensemble des solutions est \( S = \{\frac{1}{5}\} \).

2) Résolution de \( \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-5} \)

Valeurs interdites : \( x \neq 2 \) et \( x \neq 5 \).

Résolution :
\( \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-5} = 0 \)
\( \frac{2(x-5) - 3(x-2)}{(x-2)(x-5)} = 0 \)
\( \frac{2x-10 - 3x+6}{(x-2)(x-5)} = 0 \)
\( \frac{-x-4}{(x-2)(x-5)} = 0 \)

Numérateur nul : \( -x-4=0 \), soit \( x=-4 \).
La solution n'est pas interdite.

L'ensemble des solutions est \( S = \{-4\} \).

1) Résolution de \( \frac{24x-8}{1-3x} = 0 \)

Valeur interdite : \( 1-3x \neq 0 \), soit \( x \neq \frac{1}{3} \).

Résolution : Numérateur nul.
\( 24x-8 = 0 \)
\( 24x = 8 \)
\( x = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \)

La solution trouvée est la valeur interdite. L'équation n'a donc pas de solution.

L'ensemble des solutions est \( S = \emptyset \) (ensemble vide).

2) Résolution de \( \frac{4}{7x-7} = \frac{8}{3x-3} \)

Valeur interdite : On factorise les dénominateurs : \( 7(x-1) \) et \( 3(x-1) \).
La seule condition est \( x-1 \neq 0 \), donc \( x \neq 1 \).

Résolution :
\( \frac{4}{7(x-1)} - \frac{8}{3(x-1)} = 0 \)
Le dénominateur commun est \( 21(x-1) \).
\( \frac{4 \times 3}{21(x-1)} - \frac{8 \times 7}{21(x-1)} = 0 \)
\( \frac{12 - 56}{21(x-1)} = 0 \)
\( \frac{-44}{21(x-1)} = 0 \)

Pour qu'un quotient soit nul, son numérateur doit être nul. Or, le numérateur est -44, qui n'est jamais égal à 0.

L'équation n'a pas de solution. \( S = \emptyset \).

1) Résolution de \( \frac{x^2-4}{x-2} = 5 \)

Valeur interdite : \( x \neq 2 \).

Résolution :
\( \frac{x^2-4}{x-2} - 5 = 0 \)
\( \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} - 5 = 0 \)
Pour \( x \neq 2 \), on peut simplifier par \( (x-2) \):
\( x+2 - 5 = 0 \)
\( x-3 = 0 \)
\( x=3 \)

La solution \( x=3 \) n'est pas la valeur interdite.

L'ensemble des solutions est \( S = \{3\} \).

2) Résolution de \( \frac{(x-3)(2x+1) - (x-3)(x+5)}{x-1} = 0 \)

Valeur interdite : \( x \neq 1 \).

Résolution : Le numérateur doit être nul.
On factorise le numérateur par le facteur commun \( (x-3) \):
\( (x-3) [(2x+1) - (x+5)] = 0 \)
\( (x-3) (2x+1-x-5) = 0 \)
\( (x-3)(x-4) = 0 \)
Les solutions pour le numérateur sont \( x=3 \) ou \( x=4 \).

Aucune de ces solutions n'est la valeur interdite.

L'ensemble des solutions est \( S = \{3; 4\} \).