Équations du second degré

1) Résolution de \( 9x^2 - 16 = 0 \)

On reconnaît l'identité remarquable \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) avec \( a = 3x \) et \( b = 4 \).

\( (3x)^2 - 4^2 = 0 \)
\( (3x - 4)(3x + 4) = 0 \)

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
Soit \( 3x - 4 = 0 \), d'où \( 3x = 4 \) et \( x = \frac{4}{3} \).
Soit \( 3x + 4 = 0 \), d'où \( 3x = -4 \) et \( x = -\frac{4}{3} \).

L'ensemble des solutions est \( S = \{-\frac{4}{3}; \frac{4}{3}\} \).

2) Résolution de \( (x-1)^2 - 25 = 0 \)

On reconnaît de nouveau l'identité remarquable \( a^2 - b^2 \) avec \( a = x-1 \) et \( b = 5 \).

\( (x-1)^2 - 5^2 = 0 \)
\( ((x-1) - 5)((x-1) + 5) = 0 \)
\( (x - 6)(x + 4) = 0 \)

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
Soit \( x - 6 = 0 \), d'où \( x = 6 \).
Soit \( x + 4 = 0 \), d'où \( x = -4 \).

L'ensemble des solutions est \( S = \{-4; 6\} \).

1) Résolution de \( (x-5)(2x+1) + x - 5 = 0 \)

On met en évidence le facteur commun \( (x-5) \).
\( (x-5)(2x+1) + (x-5) \times 1 = 0 \)
\( (x-5) [(2x+1) + 1] = 0 \)
\( (x-5)(2x+2) = 0 \)

Soit \( x-5 = 0 \), d'où \( x=5 \).
Soit \( 2x+2 = 0 \), d'où \( 2x = -2 \) et \( x = -1 \).

L'ensemble des solutions est \( S = \{-1; 5\} \).

2) Résolution de \( (3-2x)^2 + (2x-3)(2x-1) = 0 \)

On remarque que \( (3-2x) = -(2x-3) \). Donc \( (3-2x)^2 = (-(2x-3))^2 = (2x-3)^2 \).

\( (2x-3)^2 + (2x-3)(2x-1) = 0 \)
On factorise par \( (2x-3) \).
\( (2x-3) [(2x-3) + (2x-1)] = 0 \)
\( (2x-3) (4x-4) = 0 \)

Soit \( 2x-3=0 \), d'où \( 2x=3 \) et \( x = \frac{3}{2} \).
Soit \( 4x-4=0 \), d'où \( 4x=4 \) et \( x=1 \).

L'ensemble des solutions est \( S = \{1; \frac{3}{2}\} \).

1) Résolution de \( (3x-1)(x+2) = (3x+1)(x+2) \)

On transpose tout dans le membre de gauche :
\( (3x-1)(x+2) - (3x+1)(x+2) = 0 \)

On factorise par le facteur commun \( (x+2) \) :
\( (x+2) [(3x-1) - (3x+1)] = 0 \)
\( (x+2) (3x - 1 - 3x - 1) = 0 \)
\( (x+2)(-2) = 0 \)
\( -2(x+2) = 0 \)

Cela implique \( x+2=0 \), donc \( x=-2 \).

La solution est \( S = \{-2\} \).

2) Résolution de \( (2-x)^2 = x^2 + 4x + 4 \)

On reconnaît une identité remarquable dans le membre de droite : \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \).
L'équation devient : \( (2-x)^2 = (x+2)^2 \)

On transpose tout à gauche :
\( (2-x)^2 - (x+2)^2 = 0 \)
On utilise l'identité \( a^2 - b^2 \)...
\( [(2-x) - (x+2)][(2-x) + (x+2)] = 0 \)
\( (2 - x - x - 2)(2 - x + x + 2) = 0 \)
\( (-2x)(4) = 0 \)
\( -8x = 0 \)

Cela implique \( x=0 \).

La solution est \( S = \{0\} \).

1) Résolution de \( x^2 + 4 = 0 \)

Il n'y a ni facteur commun, ni identité remarquable évidente pour factoriser.
On peut remarquer que pour n'importe quel nombre réel \( x \), son carré \( x^2 \) est toujours positif ou nul (\( x^2 \ge 0 \)).
Par conséquent, \( x^2 + 4 \) est toujours supérieur ou égal à 4 (\( x^2 + 4 \ge 4 \)).
L'expression \( x^2 + 4 \) ne peut donc jamais être égale à 0.

L'équation n'a pas de solution : \( S = \emptyset \) (ensemble vide).

2) Résolution de \( (x+2) - 2(x+1)(x+2) = 0 \)

On identifie le facteur commun \( (x+2) \).
\( (x+2) \times 1 - 2(x+1)(x+2) = 0 \)
\( (x+2) [1 - 2(x+1)] = 0 \)
\( (x+2) (1 - 2x - 2) = 0 \)
\( (x+2)(-2x-1) = 0 \)

Soit \( x+2 = 0 \), d'où \( x = -2 \).
Soit \( -2x-1 = 0 \), d'où \( -2x = 1 \) et \( x = -\frac{1}{2} \).

L'ensemble des solutions est \( S = \{-2; -\frac{1}{2}\} \).

1) Soit \( x \) la largeur. La longueur est \( x+4 \).
L'aire d'un rectangle est Longueur × largeur.
Donc, \( (x+4)x = 77 \).
En développant, on obtient \( x^2 + 4x = 77 \).
En transposant, on a bien \( x^2 + 4x - 77 = 0 \).

2) Partons de l'expression \( (x+2)^2 - 81 \). C'est le début d'une identité remarquable. On développe :
\( (x+2)^2 - 81 = (x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2) - 81 = x^2 + 4x + 4 - 81 = x^2 + 4x - 77 \).
Les deux expressions sont bien égales. On résout donc \( (x+2)^2 - 81 = 0 \).
On factorise en utilisant \( a^2 - b^2 \) avec \( a = x+2 \) et \( b = 9 \).
\( (x+2)^2 - 9^2 = 0 \)
\( ((x+2) - 9)((x+2) + 9) = 0 \)
\( (x - 7)(x + 11) = 0 \)

Soit \( x-7 = 0 \), d'où \( x=7 \).
Soit \( x+11 = 0 \), d'où \( x=-11 \).

Comme \( x \) représente une largeur, c'est une distance, donc une valeur positive. On ne retient que la solution \( x=7 \).
La largeur est de 7 m. La longueur est \( x+4 = 7+4 = 11 \) m.
Conclusion : le terrain mesure 7 m de large et 11 m de long.

1) \( (4x - 2)(x + 5) - (1 - 2x)(x - 3) = 0 \)

On remarque que \( 4x-2 = 2(2x-1) \) et \( 1-2x = -(2x-1) \).
\( 2(2x-1)(x+5) - (-(2x-1))(x-3) = 0 \)
\( 2(2x-1)(x+5) + (2x-1)(x-3) = 0 \)
On factorise par \( (2x-1) \):
\( (2x-1)[2(x+5) + (x-3)] = 0 \)
\( (2x-1)[2x+10+x-3] = 0 \)
\( (2x-1)(3x+7) = 0 \)
Solutions: \( x = \frac{1}{2} \) ou \( x = -\frac{7}{3} \). \( S = \{-\frac{7}{3}; \frac{1}{2}\} \).

2) \( x^2 - 9 + (x+3)(2x-5) = 0 \)

On factorise \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).
\( (x-3)(x+3) + (x+3)(2x-5) = 0 \)
On factorise par \( (x+3) \):
\( (x+3)[(x-3) + (2x-5)] = 0 \)
\( (x+3)(3x-8) = 0 \)
Solutions: \( x = -3 \) ou \( x = \frac{8}{3} \). \( S = \{-3; \frac{8}{3}\} \).

3) \( (3x + 1)^2 = (x + 5)^2 \)

On transpose et on utilise \( a^2-b^2=0 \):
\( (3x+1)^2 - (x+5)^2 = 0 \)
\( [(3x+1) - (x+5)][(3x+1) + (x+5)] = 0 \)
\( (3x+1-x-5)(3x+1+x+5) = 0 \)
\( (2x-4)(4x+6) = 0 \)
Solutions: \( x=2 \) ou \( x = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \). \( S = \{-\frac{3}{2}; 2\} \).

4) \( x^2 + 6x + 5 = 0 \)

On reconnaît le début de \( (x+3)^2 = x^2+6x+9 \).
\( (x^2+6x+9) - 9 + 5 = 0 \)
\( (x+3)^2 - 4 = 0 \)
C'est une identité remarquable \( a^2-b^2 \):
\( ((x+3)-2)((x+3)+2) = 0 \)
\( (x+1)(x+5) = 0 \)
Solutions: \( x = -1 \) ou \( x = -5 \). \( S = \{-5; -1\} \).

5) \( 4x^2 - 1 - (2x-1)(3x+2) = 0 \)

On factorise \( 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) \).
\( (2x-1)(2x+1) - (2x-1)(3x+2) = 0 \)
On factorise par \( (2x-1) \):
\( (2x-1)[(2x+1) - (3x+2)] = 0 \)
\( (2x-1)[2x+1-3x-2] = 0 \)
\( (2x-1)(-x-1) = 0 \)
Solutions: \( x = \frac{1}{2} \) ou \( x = -1 \). \( S = \{-1; \frac{1}{2}\} \).