Systèmes de 2 équations à 2 inconnues

1) Le premier achat se traduit par \( 20x + 30y = 180 \).
Le second achat se traduit par \( 7x + y = 25 \).
Le système à résoudre est donc : \( \begin{cases} 20x + 30y = 180 \quad (L_1) \\ 7x + y = 25 \quad (L_2) \end{cases} \).

2) Le système à résoudre est le même que dans l'exercice 1, question 2. La résolution par substitution a montré que \( x=3 \) et \( y=4 \).
Conclusion : un pack de boissons gazeuses coûte 3 € et un pack de jus coûte 4 €.

1) La première phrase se traduit par l'équation \( 4x + 3y = 108 \).
La deuxième phrase nous donne \( x = \frac{3}{5}y \).
Le système est donc : \( \begin{cases} 4x + 3y = 108 \quad (L_1) \\ x = \frac{3}{5}y \quad (L_2) \end{cases} \).

2) La méthode par substitution s'impose, car on a déjà une expression de \( x \) en fonction de \( y \) dans \( (L_2) \). On la remplace dans \( (L_1) \).
\( 4 \left( \frac{3}{5}y \right) + 3y = 108 \)
\( \frac{12}{5}y + 3y = 108 \)
Pour additionner, on met au même dénominateur : \( \frac{12}{5}y + \frac{15}{5}y = 108 \)
\( \frac{27}{5}y = 108 \)
\( y = 108 \times \frac{5}{27} = 4 \times 5 = 20 \)
On remplace \( y \) par sa valeur dans \( (L_2) \) :
\( x = \frac{3}{5} \times 20 = 3 \times 4 = 12 \)
Conclusion : le prix d'une cravate est de 12 € et le prix d'une chemise est de 20 €.

1) Soit le système \( \begin{cases} x + y = 35 \quad (L_1) \\ 8x + 7y = 260 \quad (L_2) \end{cases} \).
De la ligne \( (L_1) \), on exprime \( x \) : \( x = 35 - y \).
On remplace \( x \) dans la ligne \( (L_2) \) :
\( 8(35 - y) + 7y = 260 \)
\( 280 - 8y + 7y = 260 \)
\( 280 - y = 260 \)
\( y = 280 - 260 = 20 \)
On calcule \( x \) :
\( x = 35 - 20 = 15 \)
La solution du système est \( S = \{(15; 20)\} \).

2) Soit \( x \) le prix du livre et \( y \) le prix du stylo. L'achat initial est \( x + y = 35 \).
Le prix du livre avec 20% de réduction est \( x - 0,2x = 0,8x \).
Le prix du stylo avec 30% de réduction est \( y - 0,3y = 0,7y \).
Le coût total après réduction est \( 0,8x + 0,7y = 26 \). Pour éviter les décimaux, on peut multiplier par 10 : \( 8x + 7y = 260 \).
On retrouve le système de la question 1. Conclusion : le prix initial du livre était de 15 € et celui du stylo de 20 €.

1) Soit le système \( \begin{cases} x + y = 110 \quad (L_1) \\ 2x - 3y = 20 \quad (L_2) \end{cases} \).
À partir de \( (L_1) \), on exprime \( x \) : \( x = 110 - y \).
On substitue dans \( (L_2) \) :
\( 2(110 - y) - 3y = 20 \)
\( 220 - 2y - 3y = 20 \)
\( 220 - 5y = 20 \)
\( 200 = 5y \)
\( y = \frac{200}{5} = 40 \)
On calcule \( x \) :
\( x = 110 - 40 = 70 \)
La solution du système est \( S = \{(70; 40)\} \).

2) En appelant \( x \) le premier nombre et \( y \) le second, on obtient le système de la question 1.
Conclusion : les deux nombres sont 70 et 40.