Systèmes de 2 équations à 2 inconnues

1) La commande de Pierre se traduit par l'équation \( 3x + 2y = 8,4 \).
La commande de Paul se traduit par l'équation \( 2x + 4y = 11,2 \).
Le système à résoudre est donc : \( \begin{cases} 3x + 2y = 8,4 \quad (L_1) \\ 2x + 4y = 11,2 \quad (L_2) \end{cases} \).

2) Pour résoudre ce système par combinaison, on peut éliminer les \( y \). On multiplie pour cela la ligne \( (L_1) \) par -2.
\( \begin{cases} -2(3x + 2y) = -2 \times 8,4 \\ 2x + 4y = 11,2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -6x - 4y = -16,8 \\ 2x + 4y = 11,2 \end{cases} \)
On additionne les deux équations :
\( (-6x - 4y) + (2x + 4y) = -16,8 + 11,2 \)
\( -4x = -5,6 \)
\( x = \frac{-5,6}{-4} = 1,4 \)
On remplace \( x \) par 1,4 dans l'équation \( (L_1) \) :
\( 3(1,4) + 2y = 8,4 \)
\( 4,2 + 2y = 8,4 \)
\( 2y = 8,4 - 4,2 \)
\( 2y = 4,2 \)
\( y = \frac{4,2}{2} = 2,1 \)
Conclusion : un café coûte 1,40 € et un chocolat coûte 2,10 €.

1) Soit le système \( \begin{cases} 6x + 5y = 57 \quad (L_1) \\ 3x + 7y = 55,5 \quad (L_2) \end{cases} \).
Pour éliminer les \( x \), on multiplie la ligne \( (L_2) \) par -2.
\( \begin{cases} 6x + 5y = 57 \\ -2(3x + 7y) = -2 \times 55,5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x + 5y = 57 \\ -6x - 14y = -111 \end{cases} \)
On additionne les deux équations :
\( (6x + 5y) + (-6x - 14y) = 57 - 111 \)
\( -9y = -54 \)
\( y = \frac{-54}{-9} = 6 \)
On remplace \( y \) par 6 dans l'équation \( (L_2) \) :
\( 3x + 7(6) = 55,5 \)
\( 3x + 42 = 55,5 \)
\( 3x = 13,5 \)
\( x = \frac{13,5}{3} = 4,5 \)
La solution du système est \( S = \{(4,5; 6)\} \).

2) Si on appelle \( x \) le prix d'une boîte et \( y \) le prix d'un album, la situation se modélise par le système résolu à la question 1. La solution \( x=4,5 \) et \( y=6 \) nous donne donc directement les prix.
Conclusion : le prix d'une boîte est de 4,50 € et le prix d'un album est de 6 €.

1) Soit le système \( \begin{cases} 8x + 3y = 39,5 \quad (L_1) \\ 7x + 9y = 50,5 \quad (L_2) \end{cases} \).
Pour éliminer les \( y \), on multiplie la ligne \( (L_1) \) par -3.
\( \begin{cases} -3(8x + 3y) = -3 \times 39,5 \\ 7x + 9y = 50,5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -24x - 9y = -118,5 \\ 7x + 9y = 50,5 \end{cases} \)
On additionne les deux équations :
\( (-24x - 9y) + (7x + 9y) = -118,5 + 50,5 \)
\( -17x = -68 \)
\( x = \frac{-68}{-17} = 4 \)
On remplace \( x \) par 4 dans l'équation \( (L_1) \) :
\( 8(4) + 3y = 39,5 \)
\( 32 + 3y = 39,5 \)
\( 3y = 7,5 \)
\( y = \frac{7,5}{3} = 2,5 \)
La solution du système est \( S = \{(4; 2,5)\} \).

2) En appelant \( x \) le prix d'un ticket adulte et \( y \) celui d'un ticket enfant, on retrouve le système de la question 1.
Conclusion : le prix d'un ticket adulte est de 4 € et le prix d'un ticket enfant est de 2,50 €.

1) Soit le système \( \begin{cases} 4x + 3y = 11 \quad (L_1) \\ 5x + 2y = 12 \quad (L_2) \end{cases} \).
Pour éliminer les \( y \), il faut trouver un multiple commun à 3 et 2. On peut multiplier \( (L_1) \) par 2 et \( (L_2) \) par -3.
\( \begin{cases} 2(4x + 3y) = 2 \times 11 \\ -3(5x + 2y) = -3 \times 12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8x + 6y = 22 \\ -15x - 6y = -36 \end{cases} \)
On additionne les deux équations :
\( (8x + 6y) + (-15x - 6y) = 22 - 36 \)
\( -7x = -14 \)
\( x = \frac{-14}{-7} = 2 \)
On remplace \( x \) par 2 dans l'équation \( (L_2) \) :
\( 5(2) + 2y = 12 \)
\( 10 + 2y = 12 \)
\( 2y = 2 \)
\( y = 1 \)
La solution du système est \( S = \{(2; 1)\} \).

2) En appelant \( x \) le prix d'un croissant et \( y \) celui d'un pain au chocolat, on obtient le système de la question 1.
Conclusion : le prix d'un croissant est de 2 € et le prix d'un pain au chocolat est de 1 €.