Résoudre des inéquations du premier degré à une inconnue

On teste chaque valeur :

Pour \(x=0\): \(1 - 5 \times 0 = 1\). On a bien \(1 \le 21\). Donc 0 est solution.
Pour \(x=-7\): \(1 - 5 \times (-7) = 1 + 35 = 36\). On n'a pas \(36 \le 21\). Donc -7 n'est pas solution.
Pour \(x=4\): \(1 - 5 \times 4 = 1 - 20 = -19\). On a bien \(-19 \le 21\). Donc 4 est solution.
Pour \(x=-4\): \(1 - 5 \times (-4) = 1 + 20 = 21\). On a bien \(21 \le 21\). Donc -4 est solution.

Les nombres solutions sont \(0, 4, -4\).

A) \( 3x + 5 < 2x - 1 \)
\( 3x - 2x < -1 - 5 \)
\( x < -6 \).
L'ensemble solution est \( S = ]-\infty, -6[ \).

B) \( 4 - 2x \ge 10 \)
\( -2x \ge 10 - 4 \)
\( -2x \ge 6 \)
\( (-\frac{1}{2}) \times (-2x) \le (-\frac{1}{2}) \times 6 \) (on change le sens de l'inégalité car on multiplie par un nombre négatif).
\( x \le -3 \). L'ensemble solution est \( S = ]-\infty, -3] \).

C) \( 5x - 4 < 9x - 7 \)
\( 5x - 9x < -7 + 4 \)
\( -4x < -3 \)
\( (-\frac{1}{4}) \times (-4x) > (-\frac{1}{4}) \times (-3) \) (on change le sens de l'inégalité).
\( x > \frac{3}{4} \). L'ensemble solution est \( S = ]\frac{3}{4}, +\infty[ \).

D) \( 7x + 1 \le 7x + 8 \)
\( 7x - 7x \le 8 - 1 \)
\( 0 \le 7 \). C'est toujours vrai.
L'ensemble solution est \( S = \mathbb{R} \).

E) \( 3x - 2 > 3x \)
\( 3x - 3x > 2 \)
\( 0 > 2 \). C'est impossible.
L'ensemble solution est \( S = \emptyset \).

A) \( 5(x - 1) \ge 2(x + 4) \)
\( 5x - 5 \ge 2x + 8 \)
\( 3x \ge 13 \)
\( \frac{1}{3} \times 3x \ge \frac{1}{3} \times 13 \)
\( x \ge \frac{13}{3} \). L'ensemble solution est \( S = [\frac{13}{3}, +\infty[ \).

B) \( 3 - (2x + 1) < 4x \)
\( 3 - 2x - 1 < 4x \)
\( 2 - 2x < 4x \)
\( 2 < 6x \)
\( \frac{1}{6} \times 2 < \frac{1}{6} \times 6x \)
\( \frac{1}{3} < x \). L'ensemble solution est \( S = ]\frac{1}{3}, +\infty[ \).

C) \( 2(x + 3) \le 4(x - 1) - 2x \)
\( 2x + 6 \le 4x - 4 - 2x \)
\( 2x + 6 \le 2x - 4 \)
\( 6 \le -4 \). C'est impossible. L'ensemble solution est \( S = \emptyset \).

D) \( 7(x-2) + 1 > 3(x+1) \)
\( 7x - 14 + 1 > 3x + 3 \)
\( 7x - 13 > 3x + 3 \)
\( 4x > 16 \)
\( \frac{1}{4} \times 4x > \frac{1}{4} \times 16 \)
\( x > 4 \). L'ensemble solution est \( S = ]4, +\infty[ \).

E) \( -2(x - 1) < 5 - 2x \)
\( -2x + 2 < 5 - 2x \)
\( 2 < 5 \). C'est toujours vrai. L'ensemble solution est \( S = \mathbb{R} \).

A) \( \frac{x}{4} - \frac{1}{2} > \frac{x}{3} \)
\( \frac{3x}{12} - \frac{6}{12} > \frac{4x}{12} \)
\( 3x - 6 > 4x \)
\( -6 > x \). L'ensemble solution est \( S = ]-\infty, -6[ \).

B) \( \frac{x-2}{5} \le \frac{x+1}{2} \)
\( 2 \times (x-2) \le 5 \times (x+1) \)
\( 2x - 4 \le 5x + 5 \)
\( -9 \le 3x \)
\( \frac{1}{3} \times (-9) \le \frac{1}{3} \times 3x \)
\( -3 \le x \). L'ensemble solution est \( S = [-3, +\infty[ \).

C) \( \frac{5x+1}{6} > \frac{3x-3}{8} \)
\( \frac{4 \times (5x+1)}{24} > \frac{3 \times (3x-3)}{24} \)
\( 20x + 4 > 9x - 9 \)
\( 11x > -13 \)
\( \frac{1}{11} \times 11x > \frac{1}{11} \times (-13) \)
\( x > -\frac{13}{11} \). L'ensemble solution est \( S = ]-\frac{13}{11}, +\infty[ \).

D) \( \frac{x}{2} + 1 \ge \frac{x+1}{4} \)
\( \frac{2x}{4} + \frac{4}{4} \ge \frac{x+1}{4} \)
\( 2x + 4 \ge x+1 \)
\( x \ge -3 \). L'ensemble solution est \( S = [-3, +\infty[ \).

E) \( x - \frac{x}{3} < \frac{2x}{3} + 1 \)
\( \frac{3x-x}{3} < \frac{2x+3}{3} \)
\( 2x < 2x + 3 \)
\( 0 < 3 \). C'est toujours vrai. L'ensemble solution est \( S = \mathbb{R} \).

A) Soit \(n\) le plus petit entier.
\( n + (n+1) \le 55 \)
\( 2n + 1 \le 55 \Rightarrow 2n \le 54 \)
\( \frac{1}{2} \times 2n \le \frac{1}{2} \times 54 \Rightarrow n \le 27 \).
La valeur maximale est 27.

B) Soit \(t\) la durée en heures. On a \(v = \frac{d}{t} = \frac{120}{t}\).
\( \frac{120}{t} \ge 25 \)
\( 120 \ge 25t \)
\( \frac{1}{25} \times 120 \ge \frac{1}{25} \times 25t \Rightarrow 4.8 \ge t \).
La durée maximale est 4,8 heures (soit 4h et 48 minutes).

C) Le nouveau côté est \(c+3\). Le nouveau périmètre est \(4 \times (c+3)\).
\( 4 \times (c+3) < 40 \)
\( \frac{1}{4} \times 4 \times (c+3) < \frac{1}{4} \times 40 \)
\( c+3 < 10 \Rightarrow c < 7 \).
Le côté initial doit être strictement inférieur à 7 cm (et positif).

D) \( 5 \le 3x - 1 \le 14 \)
\( 6 \le 3x \le 15 \)
\( \frac{1}{3} \times 6 \le \frac{1}{3} \times 3x \le \frac{1}{3} \times 15 \)
\( 2 \le x \le 5 \).
Les entiers naturels sont 2, 3, 4, 5.

E) Soit \(x\) la troisième note.
\( \frac{8+11+x}{3} \ge 10 \)
\( 19+x \ge 30 \Rightarrow x \ge 11 \).
Il doit obtenir au minimum 11.