Les Intervalles et Valeur Absolue

1. Les bornes 2 et 5 sont incluses ($\leq$).
$x \in [2 ; 5]$

2. La borne -1 est exclue ($<$) et la borne 4 est incluse ($\leq$).
$x \in ]-1 ; 4]$

3. C'est l'ensemble des nombres inférieurs ou égaux à 3.
$x \leq 3$

4. C'est l'ensemble des nombres strictement supérieurs à -2.
$x > -2$ (ou $-2 < x$)

1. Intersection $I \cap J$ :
Les nombres communs commencent à 2 et finissent à 5.
$I \cap J = [2 ; 5]$

2. Réunion $I \cup J$ :
On prend tous les nombres du plus petit de $I$ au plus grand de $J$ car les intervalles se chevauchent.
$I \cup J = [-3 ; 8]$

3. Simplification de K :
Le premier intervalle couvre tout jusqu'à 2. Le second commence à 0. Il y a chevauchement complet sur toute la droite numérique.
$K = ]-\infty ; +\infty[ = \mathbb{R}$

1. Distance entre 2 et 7 :
$d = |7 - 2| = |5|$
$d = 5$

2. Distance entre -3 et 5 :
$d = |5 - (-3)| = |5 + 3| = |8|$
$d = 8$

3. Distance entre -8 et -2 :
$d = |-2 - (-8)| = |-2 + 8| = |6|$
$d = 6$

1. $|x - 3| \leq 2$ :
Ici $a = 3$ (centre) et $r = 2$ (rayon).
$x \in [3-2 ; 3+2]$
$x \in [1 ; 5]$

2. $|x + 1| < 4$ :
Attention, $|x + 1| = |x - (-1)|$, donc $a = -1$ et $r = 4$. L'inégalité est stricte ($<$), donc les bornes sont ouvertes.
$x \in ]-1-4 ; -1+4[$
$x \in ]-5 ; 3[$

3. $x \in [4 ; 10]$ :
Le centre $a$ est le milieu de $[4 ; 10]$ : $a = \frac{4+10}{2} = 7$.
Le rayon $r$ est la distance du centre à une borne : $r = 10 - 7 = 3$.
$|x - 7| \leq 3$