Inégalités et intervalles

A) $ x \in [-3, 5] $

$ -3 \le x \le 5 $

B) $ x \in ]-2, 7[ $

$ -2 < x < 7 $

C) $ x \in [4, +\infty[ $

$ x \ge 4 $

D) $ x \in ]-\infty, 1] $

$ x \le 1 $

E) $ x \in [-1, 0[ \cup [3, 5] $

$ -1 \le x < 0 $ ou $ 3 \le x \le 5 $

A) $ -5 \le x \le 1 $

$ x \in [-5, 1] $

B) $ x > 3 $

$ x \in ]3, +\infty[ $

C) $ x < -2 $

$ x \in ]-\infty, -2[ $

D) $ -4 < x \le 0 $

$ x \in ]-4, 0] $

E) $ x \le 2 $ ou $ x > 5 $

$ x \in ]-\infty, 2] \cup ]5, +\infty[ $

A) $ [-2, 5] \cap [0, 7] $

$ [0, 5] $

B) $ ]-\infty, 3[ \cap [-1, +\infty[ $

$ [-1, 3[ $

C) $ [1, 4] \cap [5, 8] $

$ \emptyset $

D) $ ]-3, 2] \cap [-1, 2[ $

$ [-1, 2[ $

E) $ [-5, 1[ \cap ]1, 5] $

$ \emptyset $

A) $ [-4, 1] \cup [0, 3] $

$ [-4, 3] $

B) $ ]-\infty, 2[ \cup [2, +\infty[ $

$ \mathbb{R} $

C) $ [-1, 0] \cup [3, 5] $

$ [-1, 0] \cup [3, 5] $ (ne peut pas être simplifié)

D) $ ]-5, -1] \cup [-2, 2] $

$ ]-5, 2] $

E) $ ]-\infty, 0[ \cup ]-3, 3] $

$ ]-\infty, 3] $

Ligne 1 : $ x \in [-4, -1[ \cup ]0, 1] $

$ -4 \le x < -1 $ ou $ 0 < x \le 1 $

Ligne 2 : $ -2 \le x < 2 $ ou $ 5 < x \le 7 $

$ x \in [-2, 2[ \cup ]5, 7] $

Ligne 3 : $ x \in ]-\infty, 0] \cup [3, 4] $

$ x \le 0 $ ou $ 3 \le x \le 4 $

Ligne 4 : $ -1 < x \le 0 $ ou $ x > 2 $

$ x \in ]-1, 0] \cup ]2, +\infty[ $

Ligne 5 : $ x \in [-3, -1[ \cup ]1, +\infty[ $

$ -3 \le x < -1 $ ou $ x > 1 $

A) Soient $ I = [-5, 3] $ et $ J = [0, 8] $. Déterminer $ I \cup J $.

La réunion est $ [-5, 3] \cup [0, 8] = $$[-5, 8]$.

B) Soient $ A = ]-\infty, 1] \cup [4, +\infty[ $ et $ B = [0, 6] $. Déterminer $ A \cap B $.

On cherche l'intersection de $ (]-\infty, 1] \cup [4, +\infty[) $ avec $ [0, 6] $.
$ (]-\infty, 1] \cap [0, 6]) \cup ([4, +\infty[ \cap [0, 6]) = [0, 1] \cup [4, 6] $.
La solution est $ [0, 1] \cup [4, 6] $.

C) Déterminer l'ensemble des entiers relatifs $n$ appartenant à l'intervalle $ ]-\pi, 2\pi[ $.

L'intervalle est approximativement $ ]-3.14, 6.28[ $. Les entiers relatifs dans cet intervalle sont $ \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

D) Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels $x$ tels que $ |x-2| \ge 3 $.

L'inégalité signifie $ x-2 \ge 3 $ ou $ x-2 \le -3 $.
Soit $ x \ge 5 $ ou $ x \le -1 $.
La solution est $ ]-\infty, -1] \cup [5, +\infty[ $.

E) Sachant que $x \in [-3, 1]$ et $x \in ]-1, 4]$, déterminer l'intervalle auquel appartient $x^2$.

D'abord, on détermine l'intervalle de $x$ : $ [-3, 1] \cap ]-1, 4] = ]-1, 1] $.
Si $ x \in ]-1, 1] $, alors $ x^2 $ est compris entre $0$ (pour $x=0$) et $1$ (pour $x=1$ et quand $x$ tend vers $-1$).
L'intervalle pour $x^2$ est $ [0, 1] $.