Valeur absolue d'un réel

A) La distance de -12 à 0 est 12. Donc $ |-12| = 12 $.

B) La distance de 7.5 à 0 est 7.5. Donc $ |7.5| = 7.5 $.

C) $ |5 - 9| = |-4| $. La distance de -4 à 0 est 4. Donc $ |-4| = 4 $.

D) On sait que $ \pi \approx 3.14 $, donc $ \pi - 3 > 0 $. La valeur absolue d'un nombre positif est lui-même. Donc $ |\pi - 3| = \pi - 3 $.

E) On sait que $ \sqrt{9}=3 $ et $ \sqrt{16}=4 $, donc $ \sqrt{10} \approx 3.16 $. Ainsi, $ 3 - \sqrt{10} < 0 $. La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé. Donc $ |3 - \sqrt{10}| = -(3 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 3 $.

A) Selon la définition, $|x| = 8$ signifie que $x=8$ ou $x=-8$. Les solutions sont $ S = \{-8, 8\} $.

B) L'équation est de la forme $|X| = a$ avec $X=x-1$. On a donc $x-1=4$ ou $x-1=-4$. Les solutions sont $ S = \{-3, 5\} $.

C) L'équation est de la forme $|X| = a$ avec $X=x+6$. On a donc $x+6=2$ ou $x+6=-2$. Les solutions sont $ S = \{-8, -4\} $.

D) L'équation est de la forme $|X| = a$ avec $X=3x$. On a donc $3x=15$ ou $3x=-15$. Les solutions sont $ S = \{-5, 5\} $.

E) Une valeur absolue est toujours positive ou nulle (Propriété 2). L'équation n'a donc pas de solution, $ S = \emptyset $.

A) $|A|=|B|$ équivaut à $A=B$ ou $A=-B$.
$x-1 = x+3 \Rightarrow -1=3$ (impossible).
$x-1 = -(x+3) \Rightarrow x-1=-x-3 \Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow x=-1$. La solution est $ S = \{-1\} $.

B) On a $ 2x - 1 = x + 4 $ ou $ 2x - 1 = -(x + 4) $. La première donne $ x=5 $, la seconde donne $ 3x = -3 $, soit $ x=-1 $. Les solutions sont $ S = \{-1, 5\} $.

C) On a $ 3x + 2 = 2x - 7 $ ou $ 3x + 2 = -(2x - 7) $. La première donne $ x=-9 $, la seconde donne $ 5x = 5 $, soit $ x=1 $. Les solutions sont $ S = \{-9, 1\} $.

D) On utilise un tableau de signes pour $x$ et $x-2$.
Si $ x < 0 $: $ -x - (x-2) = 4 \Rightarrow -2x=2 \Rightarrow x=-1 $ (valide).
Si $ 0 \le x < 2 $: $ x-(x-2)=4 \Rightarrow 2=4 $ (impossible).
Si $ x \ge 2 $: $ x + (x-2) = 4 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3 $ (valide).
Les solutions sont $ S = \{-1, 3\} $.

E) On a $ x - 5 = 2x $ ou $ x - 5 = -2x $. La première donne $ -x=5 \Rightarrow x=-5 $. La seconde donne $ 3x=5 \Rightarrow x=5/3 $. Les solutions sont $ S = \{-5, \frac{5}{3}\} $.

A) $ \sqrt{5^2} = |5| $. Comme 5 est positif, $ |5| = 5 $. La solution est $ 5 $.

B) $ \sqrt{(-7)^2} = |-7| $. Comme -7 est négatif, $ |-7| = -(-7) = 7 $. La solution est $ 7 $.

C) $ \sqrt{(3-8)^2} = \sqrt{(-5)^2} = |-5| $. La solution est $ 5 $.

D) On a $ \pi \approx 3.14 $, donc $ \pi - 4 $ est négatif. $ \sqrt{(\pi - 4)^2} = |\pi - 4| = -(\pi - 4) $. La solution est $ 4 - \pi $.

E) On a $ \sqrt{3} \approx 1.73 $, donc $ 2 - \sqrt{3} $ est positif. $ \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| $. La solution est $ 2 - \sqrt{3} $.