Ensembles de nombres

A) Le plus petit ensemble est \( \mathbb{Z} \) (les entiers relatifs).
Définition : \( \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} \). C'est l'ensemble des entiers positifs, négatifs et nul.
Justification : Le nombre -15 est l'opposé de l'entier naturel 15. Il n'appartient pas à \( \mathbb{N} \) car il est négatif. Il appartient donc à \( \mathbb{Z} \).

B) Le plus petit ensemble est \( \mathbb{N} \) (les entiers naturels).
Définition : \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} \). C'est l'ensemble des entiers positifs ou nuls.
Justification : On a \( \sqrt{81} = 9 \). Le nombre 9 est un entier positif, il appartient donc à \( \mathbb{N} \).

C) Le plus petit ensemble est \( \mathbb{Q} \) (les nombres rationnels).
Définition : \( \mathbb{Q} = \{\frac{n}{d} \text{, avec } n \in \mathbb{Z} \text{ et } d \in \mathbb{N}, d \neq 0\} \).
Justification : Le nombre \( \frac{2}{3} \) est bien une fraction avec \(n=2 \in \mathbb{Z}\) et \(d=3 \in \mathbb{N}^*\). Son développement décimal (0,666...) est infini et périodique, il n'est donc pas un nombre décimal. Le plus petit ensemble est \( \mathbb{Q} \).

D) Le plus petit ensemble est \( \mathbb{D} \) (les nombres décimaux).
Définition : \( \mathbb{D} = \{\frac{n}{10^p} \text{, avec } n \in \mathbb{Z} \text{ et } p \in \mathbb{N}\} \).
Justification : On peut écrire \( -5.25 = -\frac{525}{100} = \frac{-525}{10^2} \). Ce nombre vérifie la définition avec \(n=-525 \in \mathbb{Z}\) et \(p=2 \in \mathbb{N}\). Comme il n'est pas entier, le plus petit ensemble est \( \mathbb{D} \).

E) Le plus petit ensemble est \( \mathbb{R} \) (les nombres réels).
Définition : L'ensemble \( \mathbb{R} \) contient tous les nombres rationnels et irrationnels (ceux dont le développement décimal est infini et non périodique).
Justification : Le nombre \( \pi \) est irrationnel. La différence entre un nombre irrationnel et un entier (\(\pi - 1\)) est un nombre irrationnel. Il n'appartient donc pas à \( \mathbb{Q} \). Le plus petit ensemble le contenant est \( \mathbb{R} \).

A) Vrai. Par exemple, \( -5 = -5.0 \), qui est un nombre décimal.

B) Vrai. L'inverse de \( \frac{a}{b} \) est \( \frac{b}{a} \), qui est aussi un rationnel.

C) Faux. \( -1.25 \) est un nombre décimal.

D) Faux. \( \sqrt{4} = 2 \), qui est un entier naturel.

E) Vrai. Il s'agit des inclusions successives des ensembles de nombres.

A) Soit \( x = 0,666... \)
\( 10x = 6,666... \)
\( 10x - x = 6 \Rightarrow 9x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{9} = \)\( \frac{2}{3} \)

B) Soit \( x = 0,4545... \)
\( 100x = 45,4545... \)
\( 100x - x = 45 \Rightarrow 99x = 45 \Rightarrow x = \frac{45}{99} = \)\( \frac{5}{11} \)

C) Soit \( x = 2,333... \)
\( 10x = 23,333... \)
\( 10x - x = 21 \Rightarrow 9x = 21 \Rightarrow x = \frac{21}{9} = \)\( \frac{7}{3} \)

D) Soit \( x = 0,1222... \)
\( 10x = 1,222... \)
\( 100x = 12,222... \)
\( 100x - 10x = 11 \Rightarrow 90x = 11 \Rightarrow x = \)\( \frac{11}{90} \)

E) Soit \( x = 0,135135... \)
\( 1000x = 135,135135... \)
\( 1000x - x = 135 \Rightarrow 999x = 135 \Rightarrow x = \frac{135}{999} = \)\( \frac{5}{37} \)

A) Par exemple, \( \frac{1}{3} \). La division ne s'arrête pas.

B) N'importe quel entier négatif, par exemple \( -10 \).

C) Non. Le développement décimal n'est pas périodique, c'est donc un nombre irrationnel (\( \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)).

D) \( A = \frac{12}{3} = 4 \). Le plus petit ensemble est \( \mathbb{N} \).

E) \( 0.2 = \frac{2}{10} = \)\( \frac{1}{5} \).