Ensemble des nombres réels et Encadrements

1. $5$ est un entier positif, donc $A \in$ $\mathbb{N}$.

2. $-12$ est un entier négatif, donc $B \in$ $\mathbb{Z}$.

3. $2,5 = \dfrac{5}{2}$ est un nombre décimal (partie décimale finie), donc $C \in$ $\mathbb{D}$.

4. $\dfrac{1}{3} = 0,333...$ n'a pas de partie décimale finie, c'est un rationnel non décimal, donc $D \in$ $\mathbb{Q}$.

5. $\sqrt{2}$ est un irrationnel, donc $E \in$ $\mathbb{R}$.

6. $-\dfrac{3}{4} = -0,75$ est un nombre décimal négatif, donc $F \in$ $\mathbb{D}$.

7. $\pi$ est un nombre irrationnel, donc $G \in$ $\mathbb{R}$.

1. $\dfrac{4}{5}$ est une fraction d'entiers, donc c'est un nombre rationnel.

2. $\sqrt{3}$ ne tombe pas juste, c'est un nombre irrationnel.

3. $\sqrt{9} = 3$, qui est un entier, donc c'est un nombre rationnel.

4. $\pi$ est irrationnel, donc $\pi - 1$ reste irrationnel.

5. $3,14159$ a un nombre fini de décimales, c'est un nombre décimal, donc rationnel.

1. Encadrement de $\sqrt{7}$ à $10^{-1}$ :
La calculatrice donne $\sqrt{7} \approx 2,645...$
On tronque à 1 décimale : $2,6$.
On ajoute $0,1$ : $2,7$.
L'encadrement est : $2,6 \le \sqrt{7} \le 2,7$.

2. Encadrement de $\sqrt{13}$ à $10^{-2}$ :
La calculatrice donne $\sqrt{13} \approx 3,6055...$
On tronque à 2 décimales : $3,60$.
On ajoute $0,01$ : $3,61$.
L'encadrement est : $3,60 \le \sqrt{13} \le 3,61$.

1. Encadrement de $-\sqrt{5}$ à $10^{-1}$ :
On a $\sqrt{5} \approx 2,236...$
On encadre d'abord le positif : $2,2 \le \sqrt{5} \le 2,3$.
On multiplie par $-1$ (ce qui change le sens des inégalités) :
$-2,3 \le -\sqrt{5} \le -2,2$.
Résultat : $-2,3 \le -\sqrt{5} \le -2,2$.

2. Encadrement de $-\pi$ à $10^{-2}$ :
On a $\pi \approx 3,1415...$
On encadre d'abord le positif : $3,14 \le \pi \le 3,15$.
On change les signes et l'ordre :
$-3,15 \le -\pi \le -3,14$.
Résultat : $-3,15 \le -\pi \le -3,14$.

1. Vrai. ($\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$)

2. Faux. ($\dfrac{1}{3}$ a une infinité de décimales, ce n'est pas un décimal).

3. Faux. ($\sqrt{4}=2$ qui est rationnel).

4. Vrai. (Tous les entiers sont des rationnels).

5. Vrai. ($3,14 = \dfrac{314}{100}$, c'est un nombre décimal donc rationnel).