Division euclidienne

A) \( 60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = \)\( 2^2 \times 3 \times 5 \)

B) \( 140 = 10 \times 14 = (2 \times 5) \times (2 \times 7) = \)\( 2^2 \times 5 \times 7 \)

C) \( 585 = 5 \times 117 = 5 \times 9 \times 13 = \)\( 3^2 \times 5 \times 13 \)

D) \( 1200 = 12 \times 100 = (2^2 \times 3) \times 10^2 = 2^2 \times 3 \times (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 3 \times 2^2 \times 5^2 = \)\( 2^4 \times 3 \times 5^2 \)

E) \( 441 = 21^2 = (3 \times 7)^2 = \)\( 3^2 \times 7^2 \)

A) On cherche les paires de nombres dont le produit est 24 :
\(1 \times 24\)
\(2 \times 12\)
\(3 \times 8\)
\(4 \times 6\)
Les diviseurs de 24 sont : \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)

B) On cherche les paires de nombres dont le produit est 36 :
\(1 \times 36\)
\(2 \times 18\)
\(3 \times 12\)
\(4 \times 9\)
\(6 \times 6\)
Les diviseurs de 36 sont : \( 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \)

C) On cherche les paires de nombres dont le produit est 75 :
\(1 \times 75\)
\(3 \times 25\)
\(5 \times 15\)
Les diviseurs de 75 sont : \( 1, 3, 5, 15, 25, 75 \)

D) On cherche les paires de nombres dont le produit est 100 :
\(1 \times 100\)
\(2 \times 50\)
\(4 \times 25\)
\(5 \times 20\)
\(10 \times 10\)
Les diviseurs de 100 sont : \( 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 \)

E) On cherche les paires de nombres dont le produit est 42 :
\(1 \times 42\)
\(2 \times 21\)
\(3 \times 14\)
\(6 \times 7\)
Les diviseurs de 42 sont : \( 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 \)

A) On utilise \(a = bq + r\).
\( a = 8 \times 12 + 3 = 96 + 3 = 99 \). Le dividende est \( 99 \).

B) On écrit l'égalité : \( 135 = 10 \times 13 + 5 \).
Le quotient est \( q=13 \) et le reste est \( r=5 \).

C) On a \(78 = b \times 9 + 6\).
\(9b = 78 - 6 = 72\).
\(b = 72 \div 9 = 8\). Le diviseur est \( 8 \).

D) On a \(200 = 14q + 4\).
\(14q = 200 - 4 = 196\).
\(q = 196 \div 14 = 14\). Le quotient est \( 14 \).

E) On a \(a = 6 \times 15 + r\), avec \(0 \le r < 6\).
Le reste \(r\) peut être 0, 1, 2, 3, 4, ou 5.
Les valeurs possibles pour \(a\) sont : 90, 91, 92, 93, 94, 95.
Réponse : \( a \in \{90, 91, 92, 93, 94, 95\} \)

A) Vrai (car \(144 = 12 \times 12\))

B) Faux (49 est un multiple de 7)

C) Vrai (car pour tout entier \(n\), \(n = 1 \times n\))

D) Faux (la division de 160 par 15 n'est pas entière)

E) Vrai (car \(24 = 6 \times 4\))

A) \(12=2^2 \times 3\), \(18=2 \times 3^2\). PPCM(12, 18) = \(2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = \) 36

B) \(60=2^2 \times 3 \times 5\), \(84=2^2 \times 3 \times 7\). PGCD(60, 84) = \(2^2 \times 3 = \) 12

C) Un multiple de 3 et 5 est un multiple de 15. Entre 50 et 60, il y a 55 (qui n'est pas multiple de 3) et 60. Le seul multiple de 15 est 60, mais le nombre doit être *entre* 50 et 60. Le précédent est 45. Il n'y a pas de solution dans cet intervalle strict.

D) \(294 = 2 \times 147 = 2 \times 3 \times 49 = \) \(2 \times 3 \times 7^2\)

E) Les diviseurs de 90 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90