LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUETHE UNIT CIRCLEEL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
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Exercice 1 : Lecture sur le cercle trigonométriqueExercise 1: Reading on the unit circleEjercicio 1: Lectura en el círculo trigonométrico
À l'aide d'un cercle trigonométrique, déterminer les valeurs exactes du cosinus et du sinus pour chacun des réels $x$ suivants :
Using a unit circle, determine the exact values of the cosine and sine for each of the following real numbers $x$:
Utilizando un círculo trigonométrico, determina los valores exactos del coseno y del seno para cada uno de los siguientes números reales $x$:
1. $x = \dfrac{\pi}{6}$
2. $x = \dfrac{\pi}{4}$
3. $x = -\dfrac{\pi}{3}$
4. $x = \dfrac{5\pi}{4}$
5. $x = -\dfrac{7\pi}{6}$
6. $x = \dfrac{11\pi}{3}$
7. $x = -\dfrac{9\pi}{4}$
8. $x = \dfrac{13\pi}{6}$
Corrigé :Solution:Solución:
Pour $x = \dfrac{\pi}{6}$ : $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
Pour $x = \dfrac{\pi}{4}$ : $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Pour $x = -\dfrac{\pi}{3}$ : Ce point est symétrique de $\dfrac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des abscisses. $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Pour $x = \dfrac{5\pi}{4}$ : On remarque que $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$. $\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Pour $x = -\dfrac{7\pi}{6}$ : On remarque que $-\dfrac{7\pi}{6} = -\pi - \dfrac{\pi}{6}$. La mesure principale associée est $\dfrac{5\pi}{6}$. $\cos\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
Pour $x = \dfrac{11\pi}{3}$ : On a $\dfrac{11\pi}{3} = \dfrac{12\pi - \pi}{3} = 4\pi - \dfrac{\pi}{3}$. Ce réel est donc représenté par le même point que $-\dfrac{\pi}{3}$. $\cos\left(\dfrac{11\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{11\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Pour $x = -\dfrac{9\pi}{4}$ : On a $-\dfrac{9\pi}{4} = \dfrac{-8\pi - \pi}{4} = -2\pi - \dfrac{\pi}{4}$. Ce réel a la même image que $-\dfrac{\pi}{4}$. $\cos\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Pour $x = \dfrac{13\pi}{6}$ : On a $\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \dfrac{\pi}{6}$. Ce réel a la même image que $\dfrac{\pi}{6}$. $\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
For $x = \dfrac{\pi}{6}$: $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ and $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
For $x = \dfrac{\pi}{4}$: $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ and $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
For $x = -\dfrac{\pi}{3}$: This point is symmetrical to $\dfrac{\pi}{3}$ with respect to the x-axis. $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ and $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
For $x = \dfrac{5\pi}{4}$: Note that $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$. $\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ and $\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
For $x = -\dfrac{7\pi}{6}$: Note that $-\dfrac{7\pi}{6} = -\pi - \dfrac{\pi}{6}$. The associated principal measure is $\dfrac{5\pi}{6}$. $\cos\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ and $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
For $x = \dfrac{11\pi}{3}$: We have $\dfrac{11\pi}{3} = \dfrac{12\pi - \pi}{3} = 4\pi - \dfrac{\pi}{3}$. This real number is represented by the same point as $-\dfrac{\pi}{3}$. $\cos\left(\dfrac{11\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ and $\sin\left(\dfrac{11\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
For $x = -\dfrac{9\pi}{4}$: We have $-\dfrac{9\pi}{4} = \dfrac{-8\pi - \pi}{4} = -2\pi - \dfrac{\pi}{4}$. This real number has the same image as $-\dfrac{\pi}{4}$. $\cos\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ and $\sin\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
For $x = \dfrac{13\pi}{6}$: We have $\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \dfrac{\pi}{6}$. This real number has the same image as $\dfrac{\pi}{6}$. $\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ and $\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
Para $x = \dfrac{\pi}{6}$: $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
Para $x = \dfrac{\pi}{4}$: $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ y $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Para $x = -\dfrac{\pi}{3}$: Este punto es simétrico a $\dfrac{\pi}{3}$ respecto al eje de abscisas. $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ y $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Para $x = \dfrac{5\pi}{4}$: Notamos que $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$. $\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ y $\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Para $x = -\dfrac{7\pi}{6}$: Notamos que $-\dfrac{7\pi}{6} = -\pi - \dfrac{\pi}{6}$. La medida principal asociada es $\dfrac{5\pi}{6}$. $\cos\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
Para $x = \dfrac{11\pi}{3}$: Tenemos $\dfrac{11\pi}{3} = \dfrac{12\pi - \pi}{3} = 4\pi - \dfrac{\pi}{3}$. Este número real está representado por el mismo punto que $-\dfrac{\pi}{3}$. $\cos\left(\dfrac{11\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ y $\sin\left(\dfrac{11\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Para $x = -\dfrac{9\pi}{4}$: Tenemos $-\dfrac{9\pi}{4} = \dfrac{-8\pi - \pi}{4} = -2\pi - \dfrac{\pi}{4}$. Este número real tiene la misma imagen que $-\dfrac{\pi}{4}$. $\cos\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ y $\sin\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Para $x = \dfrac{13\pi}{6}$: Tenemos $\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \dfrac{\pi}{6}$. Este número real tiene la misma imagen que $\dfrac{\pi}{6}$. $\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
Exercice 2 : Mesure principale d'un angleExercise 2: Principal measure of an angleEjercicio 2: Medida principal de un ángulo
Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés dont une mesure en radians est donnée ci-dessous :
Determine the principal measure of each of the directed angles whose measure in radians is given below:
Determina la medida principal de cada uno de los ángulos orientados cuya medida en radianes se da a continuación:
1. $\alpha_1 = \dfrac{17\pi}{4}$
2. $\alpha_2 = -\dfrac{13\pi}{3}$
3. $\alpha_3 = \dfrac{31\pi}{6}$
4. $\alpha_4 = -\dfrac{15\pi}{2}$
5. $\alpha_5 = \dfrac{97\pi}{4}$
6. $\alpha_6 = -\dfrac{103\pi}{6}$
Corrigé :Solution:Solución:
Rappel : La mesure principale d'un angle orienté appartient à l'intervalle $]-\pi ; \pi]$. Pour la trouver, on retire ou on ajoute des multiples de $2\pi$.
$\dfrac{17\pi}{4} = \dfrac{16\pi + \pi}{4} = 4\pi + \dfrac{\pi}{4} = 2 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{4}$. Comme $\dfrac{\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]$, la mesure principale est $\dfrac{\pi}{4}$.
$-\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{-12\pi - \pi}{3} = -4\pi - \dfrac{\pi}{3} = -2 \times 2\pi - \dfrac{\pi}{3}$. Comme $-\dfrac{\pi}{3} \in ]-\pi ; \pi]$, la mesure principale est $-\dfrac{\pi}{3}$.
$\dfrac{31\pi}{6} = \dfrac{36\pi - 5\pi}{6} = 6\pi - \dfrac{5\pi}{6} = 3 \times 2\pi - \dfrac{5\pi}{6}$. Comme $-\dfrac{5\pi}{6} \in ]-\pi ; \pi]$, la mesure principale est $-\dfrac{5\pi}{6}$.
$-\dfrac{15\pi}{2} = \dfrac{-16\pi + \pi}{2} = -8\pi + \dfrac{\pi}{2} = -4 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{2}$. Comme $\dfrac{\pi}{2} \in ]-\pi ; \pi]$, la mesure principale est $\dfrac{\pi}{2}$.
$\dfrac{97\pi}{4} = \dfrac{96\pi + \pi}{4} = 24\pi + \dfrac{\pi}{4} = 12 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{4}$. Comme $\dfrac{\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]$, la mesure principale est $\dfrac{\pi}{4}$.
$-\dfrac{103\pi}{6} = \dfrac{-108\pi + 5\pi}{6} = -18\pi + \dfrac{5\pi}{6} = -9 \times 2\pi + \dfrac{5\pi}{6}$. Comme $\dfrac{5\pi}{6} \in ]-\pi ; \pi]$, la mesure principale est $\dfrac{5\pi}{6}$.
Reminder: The principal measure of a directed angle belongs to the interval $]-\pi ; \pi]$. To find it, we add or subtract multiples of $2\pi$.
$\dfrac{17\pi}{4} = \dfrac{16\pi + \pi}{4} = 4\pi + \dfrac{\pi}{4} = 2 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{4}$. Since $\dfrac{\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]$, the principal measure is $\dfrac{\pi}{4}$.
$-\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{-12\pi - \pi}{3} = -4\pi - \dfrac{\pi}{3} = -2 \times 2\pi - \dfrac{\pi}{3}$. Since $-\dfrac{\pi}{3} \in ]-\pi ; \pi]$, the principal measure is $-\dfrac{\pi}{3}$.
$\dfrac{31\pi}{6} = \dfrac{36\pi - 5\pi}{6} = 6\pi - \dfrac{5\pi}{6} = 3 \times 2\pi - \dfrac{5\pi}{6}$. Since $-\dfrac{5\pi}{6} \in ]-\pi ; \pi]$, the principal measure is $-\dfrac{5\pi}{6}$.
$-\dfrac{15\pi}{2} = \dfrac{-16\pi + \pi}{2} = -8\pi + \dfrac{\pi}{2} = -4 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{2}$. Since $\dfrac{\pi}{2} \in ]-\pi ; \pi]$, the principal measure is $\dfrac{\pi}{2}$.
$\dfrac{97\pi}{4} = \dfrac{96\pi + \pi}{4} = 24\pi + \dfrac{\pi}{4} = 12 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{4}$. Since $\dfrac{\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]$, the principal measure is $\dfrac{\pi}{4}$.
$-\dfrac{103\pi}{6} = \dfrac{-108\pi + 5\pi}{6} = -18\pi + \dfrac{5\pi}{6} = -9 \times 2\pi + \dfrac{5\pi}{6}$. Since $\dfrac{5\pi}{6} \in ]-\pi ; \pi]$, the principal measure is $\dfrac{5\pi}{6}$.
Recordatorio: La medida principal de un ángulo orientado pertenece al intervalo $]-\pi ; \pi]$. Para encontrarla, sumamos o restamos múltiplos de $2\pi$.
$\dfrac{17\pi}{4} = \dfrac{16\pi + \pi}{4} = 4\pi + \dfrac{\pi}{4} = 2 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{4}$. Como $\dfrac{\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]$, la medida principal es $\dfrac{\pi}{4}$.
$-\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{-12\pi - \pi}{3} = -4\pi - \dfrac{\pi}{3} = -2 \times 2\pi - \dfrac{\pi}{3}$. Como $-\dfrac{\pi}{3} \in ]-\pi ; \pi]$, la medida principal es $-\dfrac{\pi}{3}$.
$\dfrac{31\pi}{6} = \dfrac{36\pi - 5\pi}{6} = 6\pi - \dfrac{5\pi}{6} = 3 \times 2\pi - \dfrac{5\pi}{6}$. Como $-\dfrac{5\pi}{6} \in ]-\pi ; \pi]$, la medida principal es $-\dfrac{5\pi}{6}$.
$-\dfrac{15\pi}{2} = \dfrac{-16\pi + \pi}{2} = -8\pi + \dfrac{\pi}{2} = -4 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{2}$. Como $\dfrac{\pi}{2} \in ]-\pi ; \pi]$, la medida principal es $\dfrac{\pi}{2}$.
$\dfrac{97\pi}{4} = \dfrac{96\pi + \pi}{4} = 24\pi + \dfrac{\pi}{4} = 12 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{4}$. Como $\dfrac{\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]$, la medida principal es $\dfrac{\pi}{4}$.
$-\dfrac{103\pi}{6} = \dfrac{-108\pi + 5\pi}{6} = -18\pi + \dfrac{5\pi}{6} = -9 \times 2\pi + \dfrac{5\pi}{6}$. Como $\dfrac{5\pi}{6} \in ]-\pi ; \pi]$, la medida principal es $\dfrac{5\pi}{6}$.
Exercice 3 : Conversion de mesures d'anglesExercise 3: Conversion of angle measuresEjercicio 3: Conversión de medidas de ángulos
1. Convertir les mesures d'angles suivantes des degrés en radians (donner la valeur exacte) :
a) $15^\circ$
b) $105^\circ$
c) $135^\circ$
d) $-225^\circ$
2. Convertir les mesures d'angles suivantes des radians en degrés :
a) $\dfrac{\pi}{12}$
b) $\dfrac{5\pi}{18}$
c) $\dfrac{11\pi}{6}$
d) $-\dfrac{7\pi}{5}$
1. Convert the following angle measures from degrees to radians (give the exact value):
a) $15^\circ$
b) $105^\circ$
c) $135^\circ$
d) $-225^\circ$
2. Convert the following angle measures from radians to degrees:
a) $\dfrac{\pi}{12}$
b) $\dfrac{5\pi}{18}$
c) $\dfrac{11\pi}{6}$
d) $-\dfrac{7\pi}{5}$
1. Convierte las siguientes medidas de ángulos de grados a radianes (da el valor exacto):
a) $15^\circ$
b) $105^\circ$
c) $135^\circ$
d) $-225^\circ$
2. Convierte las siguientes medidas de ángulos de radianes a grados:
a) $\dfrac{\pi}{12}$
b) $\dfrac{5\pi}{18}$
c) $\dfrac{11\pi}{6}$
d) $-\dfrac{7\pi}{5}$
Corrigé :Solution:Solución:
Rappel : La proportionnalité s'écrit $\dfrac{\text{mesure en radians}}{\pi} = \dfrac{\text{mesure en degrés}}{180}$.
1. De degrés en radians : on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$.
Exercice 4 : Points confondus sur le cercle trigonométriqueExercise 4: Coinciding points on the unit circleEjercicio 4: Puntos coincidentes en el círculo trigonométrico
Parmi les mesures d'angles suivantes, regrouper celles qui correspondent au même point sur le cercle trigonométrique :
Among the following angle measures, group those that correspond to the same point on the unit circle:
Entre las siguientes medidas de ángulos, agrupa aquellas que corresponden al mismo punto en el círculo trigonométrico:
$x_1 = \dfrac{\pi}{3}$
$x_2 = \dfrac{7\pi}{3}$
$x_3 = -\dfrac{5\pi}{3}$
$x_4 = \dfrac{3\pi}{4}$
$x_5 = -\dfrac{5\pi}{4}$
$x_6 = \dfrac{11\pi}{4}$
Corrigé :Solution:Solución:
Rappel : Deux réels correspondent au même point sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de $2\pi$.
$x_2 - x_1 = \dfrac{7\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} = 2\pi$. Donc $x_1$ et $x_2$ ont le même point image.
$x_3 = -\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{\pi - 6\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} - 2\pi$. Donc $x_3$ a le même point image que $x_1$.
$x_5 = -\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{3\pi - 8\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} - 2\pi$. Donc $x_4$ et $x_5$ ont le même point image.
$x_6 = \dfrac{11\pi}{4} = \dfrac{3\pi + 8\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi$. Donc $x_6$ a le même point image que $x_4$.
Conclusion : On peut regrouper les réels en deux familles : $\{x_1, x_2, x_3\}$ et $\{x_4, x_5, x_6\}$.
Reminder: Two real numbers correspond to the same point on the unit circle if and only if their difference is a multiple of $2\pi$.
$x_2 - x_1 = \dfrac{7\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} = 2\pi$. So $x_1$ and $x_2$ have the same image point.
$x_3 = -\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{\pi - 6\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} - 2\pi$. So $x_3$ has the same image point as $x_1$.
$x_5 = -\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{3\pi - 8\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} - 2\pi$. So $x_4$ and $x_5$ have the same image point.
$x_6 = \dfrac{11\pi}{4} = \dfrac{3\pi + 8\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi$. So $x_6$ has the same image point as $x_4$.
Conclusion: We can group the real numbers into two families: $\{x_1, x_2, x_3\}$ and $\{x_4, x_5, x_6\}$.
Recordatorio: Dos números reales corresponden al mismo punto en el círculo trigonométrico si y solo si su diferencia es un múltiplo de $2\pi$.
$x_2 - x_1 = \dfrac{7\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} = 2\pi$. Por lo tanto, $x_1$ y $x_2$ tienen el mismo punto de imagen.
$x_3 = -\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{\pi - 6\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} - 2\pi$. Por lo tanto, $x_3$ tiene el mismo punto de imagen que $x_1$.
$x_5 = -\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{3\pi - 8\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} - 2\pi$. Por lo tanto, $x_4$ y $x_5$ tienen el mismo punto de imagen.
$x_6 = \dfrac{11\pi}{4} = \dfrac{3\pi + 8\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi$. Por lo tanto, $x_6$ tiene el mismo punto de imagen que $x_4$.
Conclusión: Podemos agrupar los números reales en dos familias: $\{x_1, x_2, x_3\}$ y $\{x_4, x_5, x_6\}$.
Exercice 5 : Enroulement et longueur d'arcExercise 5: Wrapping and arc lengthEjercicio 5: Enrollamiento y longitud de arco
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse :
Indicate whether the following statements are true or false, justifying your answer:
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando tu respuesta:
Le point de la droite des réels d'abscisse $4\pi$ correspond au point $I$ de coordonnées $(1, 0)$ sur le cercle.The point on the real line with abscissa $4\pi$ corresponds to the point $I$ with coordinates $(1, 0)$ on the circle.El punto de la recta real con abscisa $4\pi$ corresponde al punto $I$ de coordenadas $(1, 0)$ en el círculo.
Sur le cercle trigonométrique, la longueur de l'arc géométrique correspondant à un angle de $1$ radian est égale à $1$.On the unit circle, the geometric arc length corresponding to an angle of $1$ radian is equal to $1$.En el círculo trigonométrico, la longitud del arco geométrico correspondiente a un ángulo de $1$ radián es igual a $1$.
Les réels $x$ et $x + \pi$ correspondent au même point sur le cercle trigonométrique.The real numbers $x$ and $x + \pi$ correspond to the same point on the unit circle.Los números reales $x$ y $x + \pi$ corresponden al mismo punto en el círculo trigonométrico.
Le demi-cercle trigonométrique a une longueur de $\pi$.The trigonometric semi-circle has a length of $\pi$.El semicírculo trigonométrico tiene una longitud de $\pi$.
Corrigé :Solution:Solución:
VRAI. $4\pi = 2 \times 2\pi$. Cela correspond à deux tours complets dans le sens positif en partant de $I(1; 0)$. On retombe donc sur le point $I$.
VRAI. C'est la définition du radian introduite dans le cours (le rayon du cercle étant $R=1$).
FAUX. Pour que deux réels correspondent au même point, leur différence doit être un multiple de $2\pi$. Ici, la différence est $\pi$, ce qui correspond à un demi-tour (les points sont diamétralement opposés).
VRAI. Le périmètre complet du cercle trigonométrique (rayon $R = 1$) est $P = 2\pi R = 2\pi$. La moitié est donc $\pi$.
TRUE. $4\pi = 2 \times 2\pi$. This corresponds to two full turns in the positive direction starting from $I(1; 0)$. We therefore land back on point $I$.
TRUE. This is the definition of the radian introduced in the course (the radius of the circle being $R=1$).
FALSE. For two real numbers to correspond to the same point, their difference must be a multiple of $2\pi$. Here, the difference is $\pi$, which corresponds to a half-turn (the points are diametrically opposite).
TRUE. The full perimeter of the unit circle (radius $R = 1$) is $P = 2\pi R = 2\pi$. Half of it is therefore $\pi$.
VERDADERO. $4\pi = 2 \times 2\pi$. Esto corresponde a dos vueltas completas en sentido positivo partiendo de $I(1; 0)$. Por lo tanto, volvemos a caer en el punto $I$.
VERDADERO. Esta es la definición del radián introducida en el curso (siendo el radio del círculo $R=1$).
FALSO. Para que dos números reales correspondan al mismo punto, su diferencia debe ser un múltiplo de $2\pi$. Aquí, la diferencia es $\pi$, lo que corresponde a media vuelta (los puntos son diametralmente opuestos).
VERDADERO. El perímetro completo del círculo trigonométrico (radio $R = 1$) es $P = 2\pi R = 2\pi$. Por lo tanto, la mitad es $\pi$.
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