Exercice 4 : Variations de fonctionsExercise 4: Function variationsEjercicio 4: Variaciones de funciones
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée et dresser son tableau de variations sur l'intervalle donné.
For each of the following functions, calculate the derivative and draw its variation table on the given interval.
Para cada una de las siguientes funciones, calcular la derivada y dibujar su tabla de variaciones en el intervalo dado.
$f(x) = \cos(x) + 2x$ sur $[0 ; \pi]$
$g(x) = -\cos(x)$ sur $[-\pi ; \pi]$
$h(x) = x - \cos(x)$ sur $[0 ; \pi]$
$k(x) = 3\cos(x)$ sur $[0 ; 2\pi]$
$l(x) = \cos(x) - x$ sur $[0 ; \pi]$
Corrigé :Solution:Solución:
$f'(x) = -\sin(x) + 2$. Comme $-1 \le -\sin(x) \le 1$, $f'(x) \ge 1 > 0$. $f$ est strictement croissante sur $[0 ; \pi]$.
$g'(x) = \sin(x)$. Sur $[-\pi ; 0]$, $\sin(x) \le 0$ donc $g$ décroissante. Sur $[0 ; \pi]$, $\sin(x) \ge 0$ donc $g$ croissante. Décroissante puis croissante.
$h'(x) = 1 + \sin(x)$. Comme $\sin(x) \ge -1$, $h'(x) \ge 0$. $h$ est croissante sur $[0 ; \pi]$.
$k'(x) = -3\sin(x)$. Sur $[0 ; \pi]$, $\sin(x) \ge 0 \implies k'(x) \le 0$ (décroissante). Sur $[\pi ; 2\pi]$, $\sin(x) \le 0 \implies k'(x) \ge 0$ (croissante). Décroissante puis croissante.
$l'(x) = -\sin(x) - 1$. Comme $\sin(x) \ge 0$ sur $[0 ; \pi]$, $-\sin(x) - 1 \le -1 < 0$. $l$ est strictement décroissante sur $[0 ; \pi]$.
$f'(x) = -\sin(x) + 2$. Since $-1 \le -\sin(x) \le 1$, $f'(x) \ge 1 > 0$. $f$ is strictly increasing on $[0 ; \pi]$.
$g'(x) = \sin(x)$. On $[-\pi ; 0]$, $\sin(x) \le 0$ so $g$ is decreasing. On $[0 ; \pi]$, $\sin(x) \ge 0$ so $g$ is increasing. Decreasing then increasing.
$h'(x) = 1 + \sin(x)$. Since $\sin(x) \ge -1$, $h'(x) \ge 0$. $h$ is increasing on $[0 ; \pi]$.
$k'(x) = -3\sin(x)$. On $[0 ; \pi]$, $\sin(x) \ge 0 \implies k'(x) \le 0$ (decreasing). On $[\pi ; 2\pi]$, $\sin(x) \le 0 \implies k'(x) \ge 0$ (increasing). Decreasing then increasing.
$l'(x) = -\sin(x) - 1$. Since $\sin(x) \ge 0$ on $[0 ; \pi]$, $-\sin(x) - 1 \le -1 < 0$. $l$ is strictly decreasing on $[0 ; \pi]$.
$f'(x) = -\sin(x) + 2$. Como $-1 \le -\sin(x) \le 1$, $f'(x) \ge 1 > 0$. $f$ es estrictamente creciente en $[0 ; \pi]$.
$g'(x) = \sin(x)$. En $[-\pi ; 0]$, $\sin(x) \le 0$ por lo que $g$ decrece. En $[0 ; \pi]$, $\sin(x) \ge 0$ por lo que $g$ crece. Decreciente y luego creciente.
$h'(x) = 1 + \sin(x)$. Como $\sin(x) \ge -1$, $h'(x) \ge 0$. $h$ es creciente en $[0 ; \pi]$.
$k'(x) = -3\sin(x)$. En $[0 ; \pi]$, $\sin(x) \ge 0 \implies k'(x) \le 0$ (decreciente). En $[\pi ; 2\pi]$, $\sin(x) \le 0 \implies k'(x) \ge 0$ (creciente). Decreciente y luego creciente.
$l'(x) = -\sin(x) - 1$. Como $\sin(x) \ge 0$ en $[0 ; \pi]$, $-\sin(x) - 1 \le -1 < 0$. $l$ es estrictamente decreciente en $[0 ; \pi]$.