LA FONCTION VALEUR ABSOLUE
Définition 1: On appelle fonction valeur absolue la fonction, notée $x \mapsto |x|$, définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\begin{cases} |x| = x & \text{si } x \geq 0 \\ |x| = -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$
Exemples :
$5 > 0$ donc $|5| = 5$ ; $-3 < 0$ donc $|-3| = -(-3) = 3$
$\pi - 4 < 0$ donc $|\pi - 4| = -(\pi - 4) = 4 - \pi$
Étude de la fonction $\bm{f : x \mapsto |x|}$
Parité :
$\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$ donc $f$ est paire.
Dérivée :
La fonction $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ telle que $\forall x \in ]0 ; +\infty[,\ f'(x) = 1$.
La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty ; 0[$ telle que $\forall x \in ]-\infty ; 0[,\ f'(x) = -1$.
Dérivabilité en 0 :
$\lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \dfrac{|0+h|}{h} = 1$ et $\lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \dfrac{|0+h|}{h} = -1$
donc $\lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} \neq \lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$, ce qui montre que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
Tableau de variation :
| $x$ |
$-\infty$
$0$
$+\infty$
|
| $f(x) = |x|$ |
$0$
|
Représentation graphique :
La fonction valeur absolue est affine par morceaux.
La courbe d'équation $y = |x|$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées :
$\forall x \in \mathbb{R},\ |-x| = |x|$.
La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses : $\forall x \in \mathbb{R},\ |x| \geq 0$.
Propriété 1 : Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels ;
- • $x_1 < x_2 < 0 \implies |x_1| > |x_2| > 0$
- • $0 \leq x_1 < x_2 \implies 0 \leq |x_1| < |x_2|$
Démonstration :
Elle découle directement du tableau de variation de la fonction valeur absolue.
THE ABSOLUTE VALUE FUNCTION
Definition 1: We callabsolute value functionthe function, denoted $x \mapsto |x|$, defined on $\mathbb{R}$ by:
$$\begin{cases} |x| = x & \text{si } x \geq 0 \\ |x| = -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$$
Examples:
$5 > 0$ so $|5| = $5 ; $-3 < 0$ so $|-3| = -(-3) = $3
$\pi - 4 < 0$ therefore $|\pi - 4| = -(\pi - 4) = 4 - \pi$
Study of the function$\bm{f : x \mapsto |x|}$
Parity:
$\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$ so $f$ is even.
Derivative:
The function $f$ is differentiable on $]0; +\infty[$ such that $\forall x \in ]0; +\infty[,\ f'(x) = 1$.
The function $f$ is differentiable on $]-\infty; 0[$ such that $\forall x \in ]-\infty ; 0[,\ f'(x) = -1$.
Differentiability at 0:
$\lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \dfrac{|0+h|}{h} = 1$ and $\lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \dfrac{|0+h|}{h} = -1$
therefore $\lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} \neq \lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$, which shows that $f$ is not differentiable in $0$.
Variation table:
| $x$ |
$-\infty$
$0$
$+\infty$
|
| $f(x) = |x|$ |
$0$
|
Graphical representation:
The absolute value function is piecewise affine.
The equation curve $y = |x|$ is symmetrical about the ordinate axis:
$\forall x \in \mathbb{R},\ |-x| = |x|$.
The curve is above the abscissa axis:$\forall x \in \mathbb{R},\ |x| \geq 0$.
Property 1:Let $x_1$ and $x_2$ be two real numbers;
- • $x_1 < x_2 < 0 \implies |x_1| > |x_2| > 0$
- • $0 \leq x_1 < x_2 \implies 0 \leq |x_1| < |x_2|$
Demonstration:
It follows directly from the variation table of the absolute value function.
LA FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO
Definición 1: Llamamosfunción de valor absolutola función, denotada $x \mapsto |x|$, definida en $\mathbb{R}$ por:
$$\begin{casos} |x| = x & \text{si } x \geq 0 \\ |x| = -x & \text{si } x < 0 \end{casos}$$
Ejemplos:
$5 > 0$ entonces $|5| = $5; $-3 < 0$ entonces $|-3| = -(-3) = $3
$\pi - 4 < 0$ por lo tanto $|\pi - 4| = -(\pi - 4) = 4 - \pi$
Estudio de la función$\bm{f : x \mapsto |x|}$
Paridad:
$\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$ entonces $f$ es par.
Derivado:
La función $f$ es diferenciable en $]0; +\infty[$ tal que $\forall x \in ]0; +\infty[,\ f'(x) = 1$.
La función $f$ es diferenciable en $]-\infty; 0[$ tal que $\forall x \in ]-\infty ; 0[,\f'(x) = -1$.
Diferenciabilidad en 0:
$\lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \dfrac{|0+h|}{h} = 1$ y $\lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \dfrac{|0+h|}{h} = -1$
por lo tanto $\lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} \neq \lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$, lo que muestra que $f$ no es diferenciable en $0$.
Tabla de variaciones:
| $x$ |
$-\infty$
$0$
$+\infty$
|
| $f(x) = |x|$ |
$0$
|
Representación gráfica:
La función de valor absoluto es afín por partes.
La curva de ecuación $y = |x|$ es simétrica con respecto al eje de ordenadas:
$\forall x \in \mathbb{R},\ |-x| = |x|$.
La curva está por encima del eje de abscisas:$\forall x \in \mathbb{R},\ |x| \geq 0$.
Propiedad 1:Sean $x_1$ y $x_2$ dos números reales;
- • $x_1 < x_2 < 0 \implica |x_1| > |x_2| > 0$
- • $0 \leq x_1 < x_2 \implica 0 \leq |x_1| < |x_2|$
Demostración:
Se deduce directamente de la tabla de variaciones de la función de valor absoluto.