La fonction affine
Exercices
Exercice 1 : Application Économique (Seuil de rentabilité)
Un artisan fabrique des meubles sur mesure. Ses coûts fixes mensuels sont de 2 500 € et le coût variable par meuble est de 150 €.
Il vend chaque meuble 400 €. Cependant, pour stimuler les ventes, il applique une remise sur volume : à partir du 16ème meuble vendu dans le mois, chaque meuble supplémentaire est vendu 300 €.
- Exprimer la fonction de coût total $C(x)$ pour $x$ meubles fabriqués.
- Exprimer la fonction de recette $R(x)$ pour $0 \le x \le 15$, puis pour $x > 15$. (Montrer que pour $x > 15$, $R(x) = 300x + 1500$).
- Déterminer l'expression du bénéfice $B(x)$ sur chaque intervalle.
- Combien de meubles doit-il vendre au minimum pour commencer à réaliser un bénéfice ?
- Si sa capacité de production maximale est de 30 meubles par mois, quel est son bénéfice maximal possible ?
Corrigé :
- La fonction de coût est la somme des coûts fixes et des coûts variables :
$C(x) = 150x + 2500$. - Pour $0 \le x \le 15$, le prix de vente est de 400 € : $R(x) = 400x$.
Pour $x > 15$, on vend les 15 premiers meubles à 400 € (soit $15 \times 400 = 6000$ €) et les $(x - 15)$ autres à 300 €. Donc $R(x) = 6000 + 300(x - 15) = 6000 + 300x - 4500$. Ainsi, $R(x) = 300x + 1500$. - Le bénéfice est $B(x) = R(x) - C(x)$.
Pour $0 \le x \le 15$ : $B(x) = 400x - (150x + 2500) = 250x - 2500$. Donc $B(x) = 250x - 2500$.
Pour $x > 15$ : $B(x) = (300x + 1500) - (150x + 2500) = 150x - 1000$. Donc $B(x) = 150x - 1000$. - Il faut résoudre $B(x) > 0$.
Sur $[0; 15]$ : $250x - 2500 > 0 \iff 250x > 2500 \iff x > 10$.
Il doit donc vendre au minimum 11 meubles pour être rentable. - Puisque les fonctions bénéfice sont des fonctions affines croissantes, le bénéfice maximal est atteint pour le maximum de meubles vendus, soit $x = 30$.
$B(30) = 150 \times 30 - 1000 = 4500 - 1000 = 3500$.
Le bénéfice maximal possible est de $3500$ €.
Exercice 2 : Application Géométrique (Périmètre et Variations)
Soit $ABC$ un triangle dont la base $BC = 10$ cm et la hauteur issue de $A$ est $AH = 8$ cm.
On inscrit un rectangle $MNPQ$ dans ce triangle tel que $M$ et $N$ soient sur $[BC]$, $P$ sur $[AC]$ et $Q$ sur $[AB]$.
On note la hauteur du rectangle $MQ = NP = x$.
- Quel est l'ensemble de définition de la variable $x$ ?
- En utilisant le théorème de Thalès, exprimer la longueur $MN$ en fonction de $x$.
- En déduire que le périmètre $P(x)$ du rectangle $MNPQ$ est donné par une fonction affine dont on précisera l'expression.
- Étudier le sens de variation de la fonction $P$ et interpréter géométriquement ce résultat.
- Pour quelle valeur de $x$ le périmètre du rectangle est-il égal à 17 cm ?
Corrigé :
- Le point $Q$ (ou $P$) se déplace entre la base $[BC]$ (où $x=0$) et le sommet $A$ (où $x=8$). Donc l'ensemble de définition est $x \in [0 ; 8]$.
- Soit $K$ le projeté de $A$ sur $[QP]$. Puisque $QP$ est parallèle à $BC$, on peut appliquer le théorème de Thalès dans le triangle $ABC$ de hauteur $AH$ : $\frac{QP}{BC} = \frac{AK}{AH}$.
Or $AK = AH - x = 8 - x$. De plus, $MN = QP$.
Ainsi, $\frac{MN}{10} = \frac{8 - x}{8} \implies MN = \frac{10}{8}(8 - x)$. Donc $MN = 10 - 1,25x$. - Le périmètre est $P(x) = 2MN + 2MQ = 2(10 - 1,25x) + 2x = 20 - 2,5x + 2x$.
L'expression est $P(x) = -0,5x + 20$, qui est bien de la forme $ax+b$ avec $a=-0,5$ et $b=20$. - Le coefficient directeur est $a = -0,5 < 0$. La fonction $P$ est donc strictement décroissante sur $[0; 8]$.
Géométriquement : plus le rectangle est "haut" (plus $x$ grandit et se rapproche du sommet $A$), plus son périmètre global diminue. - On résout $P(x) = 17 \iff -0,5x + 20 = 17 \iff -0,5x = -3 \iff x = \frac{-3}{-0,5} = 6$.
Le périmètre vaut 17 cm lorsque $x = 6$ cm.
Exercice 3 : Optimisation et Comparaison de Tarifs (Inéquations)
Une agence de location de voitures propose trois formules :
- Formule A : Un forfait fixe de 50 € plus 0,20 € par kilomètre parcouru.
- Formule B : Un forfait fixe de 20 € plus 0,35 € par kilomètre parcouru.
- Formule C : 0,50 € par kilomètre jusqu'à 200 km, puis 0,15 € pour chaque kilomètre supplémentaire au-delà de 200 km.
- Exprimer les coûts $f_A(x)$, $f_B(x)$ et $f_C(x)$ en fonction de la distance $x$ en km. (Montrer que pour $x > 200$, $f_C(x) = 0,15x + 70$).
- Résoudre l'équation $f_A(x) = f_B(x)$ et interpréter le résultat.
- Résoudre l'inéquation $f_A(x) \le f_C(x)$ pour $x > 200$.
- Déterminer algébriquement la formule la plus avantageuse (la moins chère) en fonction du nombre de kilomètres parcourus.
Corrigé :
-
Pour A et B : $f_A(x) = 0,20x + 50$ et $f_B(x) = 0,35x + 20$.
Pour C : Si $0 \le x \le 200$, $f_C(x) = 0,50x$.
Si $x > 200$, on paie les 200 premiers km à 0,50 € ($200 \times 0,50 = 100$ €) et les $(x - 200)$ km restants à 0,15 €.
Donc $f_C(x) = 100 + 0,15(x - 200) = 100 + 0,15x - 30$. Finalement : $f_C(x) = 0,15x + 70$ (pour $x > 200$). - $0,20x + 50 = 0,35x + 20 \iff 30 = 0,15x \iff x = \frac{30}{0,15} = 200$.
Interprétation : Pour 200 km, les formules A et B coûtent exactement la même chose (90 €). - Sur $x > 200$ : $0,20x + 50 \le 0,15x + 70 \iff 0,05x \le 20 \iff x \le \frac{20}{0,05} \iff x \le 400$.
L'ensemble des solutions est $]200 ; 400]$. -
Il faut comparer les trois coûts sur différents intervalles :
- Pour $x < 200$ : $f_B(x) < f_A(x)$ (car $0,35x+20 < 0,20x+50$). Comparons B et C sur $[0; 200]$ : $0,35x + 20 < 0,50x \iff 20 < 0,15x \iff x > 133,33$. Donc B est moins chère si $x > 133,3$. Si $x < 133,3$, C est moins chère ($0,5x < 0,35x+20$).
- Pour $x = 200$ : $f_A(200) = 90$, $f_B(200) = 90$, $f_C(200) = 100$. A et B sont équivalentes.
- Pour $200 < x < 400$ : D'après la question 3, $f_A(x) < f_C(x)$. Et comme $x > 200$, $f_A(x) < f_B(x)$. Donc A est la moins chère.
- Pour $x > 400$ : $f_C(x) < f_A(x)$ (d'après la Q3). Et A est déjà moins chère que B. Donc C est la moins chère.
Conclusion globale :- De 0 à 133 km : La Formule C est la plus avantageuse.
- De 134 à 200 km : La Formule B est la plus avantageuse.
- De 200 à 400 km : La Formule A est la plus avantageuse.
- Au-delà de 400 km : La Formule C redevient la plus avantageuse.
Exercice 4 : Géométrie Analytique et Faisceau de droites (Paramètres)
Pour tout nombre réel $m$, on considère la fonction affine $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_m(x) = (2m - 4)x + 3m + 1$.
On note $d_m$ la droite représentative de la fonction $f_m$ dans un repère.
- Pour quelles valeurs de $m$ la fonction $f_m$ est-elle strictement croissante ?
- Pour quelle valeur de $m$ la droite $d_m$ est-elle parallèle à la droite $D$ d'équation $y = 5x - 2$ ?
- Montrer que toutes les droites $d_m$ (quelle que soit la valeur de $m$) passent par un point fixe $A$ dont on déterminera les coordonnées.
Corrigé :
- La fonction affine $f_m$ est de la forme $ax+b$ avec $a = 2m - 4$ et $b = 3m + 1$.
Elle est strictement croissante si et seulement si son coefficient directeur est strictement positif : $a > 0$.
$2m - 4 > 0 \iff 2m > 4 \iff m > 2$.
L'ensemble des solutions est $m \in ]2 ; +\infty[$. - Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de $D$ est $5$. Celui de $d_m$ est $2m - 4$.
$2m - 4 = 5 \iff 2m = 9 \iff m = 4,5$.
La droite $d_m$ est parallèle à $D$ pour $m = 4,5$. - Un point $A(x; y)$ appartient à toutes les droites $d_m$ si l'équation $y = (2m - 4)x + 3m + 1$ est vérifiée pour tout $m$.
En développant et en regroupant les termes avec $m$ :
$y = 2mx - 4x + 3m + 1 \iff m(2x + 3) - 4x + 1 - y = 0$.
Pour que cette égalité soit vraie pour tout $m$, il faut que le coefficient devant $m$ soit nul et que le reste soit nul :
$\begin{cases} 2x + 3 = 0 \\ -4x + 1 - y = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x = -3 \\ y = -4x + 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x = -1,5 \\ y = -4(-1,5) + 1 = 6 + 1 = 7 \end{cases}$
Toutes les droites passent par le point fixe $A(-1,5 ; 7)$.