Nombre dérivé et tangente
Exercice 1 : Lecture graphique
La courbe $C_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ est représentée ci-dessus. Les droites $T_A$, $T_B$ et $T_C$ sont les tangentes à la courbe respectivement aux points d'abscisses $1$, $-1$ et $0$.
1. Par lecture graphique, déterminer $f(1)$ et $f'(1)$.
2. Déterminer $f(-1)$ et $f'(-1)$.
3. Que vaut $f'(0)$ ?
4. En déduire l'équation réduite de la tangente $T_A$.
Corrigé :
1. Le point $A(1; -1)$ appartient à la courbe, donc $f(1) = -1$.
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$. $T_A$ passe par $A(1; -1)$ et par le point $D(2; 1)$. Son coefficient directeur est donné par la formule $m = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{1 - (-1)}{2 - 1} = 2$.
Résultats : $f(1) = -1$ et $f'(1) = 2$.
2. Le point $B(-1; -1)$ appartient à la courbe, donc $f(-1) = -1$.
$f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_B$. $T_B$ passe par $B(-1; -1)$ et par le point $E(0; -3)$. Son coefficient directeur est donné par la formule $m = \frac{y_E - y_B}{x_E - x_B} = \frac{-3 - (-1)}{0 - (-1)} = -2$.
Résultats : $f(-1) = -1$ et $f'(-1) = -2$.
3. La tangente $T_C$ au point d'abscisse $0$ est horizontale. Son coefficient directeur est donc nul.
Résultat : $f'(0) = 0$.
4. L'équation de la tangente $T_A$ est de la forme $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$.
$y = 2(x - 1) - 1 = 2x - 2 - 1 = 2x - 3$.
Résultat : $y = 2x - 3$.
Exercice 2 : Équation de tangente à partir de données
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. On donne $f(-1) = 4$ et $f'(-1) = -3$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-1$.
Corrigé :
L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est donnée par la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Ici, $a = -1$. En remplaçant avec les valeurs de l'énoncé :
$y = -3(x - (-1)) + 4$
$y = -3(x + 1) + 4$
$y = -3x - 3 + 4$
Résultat : $y = -3x + 1$.
Exercice 3 : Calcul algébrique de tangente
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 5$. On admet pour cet exercice que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 2x - 4$.
1. Calculer $f(3)$ et $f'(3)$.
2. En déduire l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$.
Corrigé :
1. On calcule l'image de 3 par $f$ : $f(3) = 3^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$.
On calcule le nombre dérivé en 3 : $f'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$.
Résultats : $f(3) = 2$ et $f'(3) = 2$.
2. L'équation de la tangente est $y = f'(3)(x - 3) + f(3)$.
$y = 2(x - 3) + 2$
$y = 2x - 6 + 2$
Résultat : L'équation de la tangente est $y = 2x - 4$.
Exercice 4 : Tangente horizontale
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2$. On admet que $f'(x) = -3x^2 + 6x$.
1. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.
2. Déterminer les coordonnées des points de la courbe où la tangente est horizontale.
Corrigé :
1. Pour $x=1$, on a $f(1) = -1 + 3 + 2 = 4$ et $f'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = 3$.
L'équation de la tangente est $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 3(x - 1) + 4 = 3x - 3 + 4$.
Résultat : $y = 3x + 1$.
2. Une tangente est horizontale si et seulement si son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire $f'(x) = 0$.
$-3x^2 + 6x = 0 \iff -3x(x - 2) = 0$.
Les solutions sont $x = 0$ et $x = 2$.
Les ordonnées correspondantes sont $f(0) = 2$ et $f(2) = -8 + 12 + 2 = 6$.
Résultat : Les points sont $A(0; 2)$ et $B(2; 6)$.
Exercice 5 : Tangente parallèle à une droite
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + x - 3$. On admet que $f'(x) = 2x + 1$.
Existe-t-il une tangente à la courbe représentative de $f$ qui soit parallèle à la droite $(D)$ d'équation $y = 5x - 2$ ? Si oui, préciser en quel point.
Corrigé :
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de la droite $(D)$ est $5$.
On cherche donc s'il existe une abscisse $x$ telle que $f'(x) = 5$.
$2x + 1 = 5 \iff 2x = 4 \iff x = 2$.
Il existe donc une seule tangente parallèle à $(D)$, au point d'abscisse $2$.
L'ordonnée de ce point est $f(2) = 2^2 + 2 - 3 = 4 + 2 - 3 = 3$.
Résultat : Oui, au point $A(2; 3)$.