LES SUITES GÉOMÉTRIQUES
Exercice 1 : Étudier si une suite est géométrique
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites géométriques. Pour les suites géométriques, préciser la raison.
1. $\begin{cases}u_{0}=2\\ \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}\times 3\end{cases}$
2. Pour tout entier naturel $n$, $v_{n}=5 \times 2^n$
3. Pour tout entier naturel $n$, $w_{n}=n^2+1$
4. $z_{0}=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=z_{n}^2$
5. Pour tout entier naturel $n$, $t_n = \dfrac{3^n}{2}$
Corrigé :
1. Suite $(u_n)$ :
La suite est définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n \times 3$. C'est la définition d'une suite géométrique. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $u_0 = 2$.
2. Suite $(v_n)$ :
La suite est définie par $v_n = 5 \times 2^n$. On reconnaît la forme explicite $v_n = v_0 \times q^n$. $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $v_0 = 5$.
3. Suite $(w_n)$ :
On calcule les premiers termes. $w_0 = 1$ ; $w_1 = 2$ ; $w_2 = 5$. Le quotient $\dfrac{w_1}{w_0} = 2$ et $\dfrac{w_2}{w_1} = 2.5$. Le rapport n'est pas constant. $(w_n)$ n'est pas une suite géométrique.
4. Suite $(z_n)$ :
On calcule les premiers termes. $z_0 = 3$ ; $z_1 = 9$ ; $z_2 = 81$. Le quotient $\dfrac{z_1}{z_0} = 3$ et $\dfrac{z_2}{z_1} = 9$. Le rapport n'est pas constant. $(z_n)$ n'est pas une suite géométrique.
5. Suite $(t_n)$ :
On peut écrire $t_n = \dfrac{1}{2} \times 3^n$. C'est de la forme $t_n = t_0 \times q^n$. $(t_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $t_0 = 0.5$.
Exercice 2 : Étudier une suite géométrique
Soit $u$ une suite géométrique de premier terme $u_{0}=3$ et de raison $q = 2$.
1. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
2. Calculer $u_{5}$.
3. Quel est le sens de variation de cette suite ?
4. a) Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'équation $u_{n}=48$.
b) Déterminer le plus petit entier $n$ à partir duquel $u_{n} > 1000$.
5. a) Exprimer la somme $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$ en fonction de $n$.
b) Calculer la somme $S_{9} = u_0 + ... + u_{9}$.
Corrigé :
1. Terme général : $u_n = u_0 \times q^n = 3 \times 2^n$
2. Calcul : $u_5 = 3 \times 2^5 = 3 \times 32 = 96$.
3. Sens de variation : Comme $u_0 > 0$ et $q > 1$, la suite est strictement croissante.
4. Résolutions :
a) $3 \times 2^n = 48 \iff 2^n = 16 \iff 2^n = 2^4$. Donc $n = 4$.
b) On cherche $n$ tel que $3 \times 2^n > 1000 \iff 2^n > \dfrac{1000}{3} \approx 333.3$. Par essais, $2^8 = 256$ et $2^9 = 512$. À partir de $n = 9$.
5. Somme :
a) $S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 3 \times \dfrac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2} = -3(1 - 2^{n+1}) = $ $3(2^{n+1} - 1)$.
b) $S_9 = 3(2^{9+1} - 1) = 3(1024 - 1) = 3 \times 1023 = $ $3069$.
Exercice 3 : Déterminer une suite géométrique
Soit $(u_n)$ une suite géométrique définie sur $\mathbb{N}$ à termes strictement positifs. On donne $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$.
1. Déterminer la raison $q$ de la suite $(u_n)$.
2. En déduire le premier terme $u_0$ puis l'expression du terme général de $(u_n)$.
3. Calculer $u_8$.
4. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
5. Calculer la somme $S = u_2 + u_3 + ... + u_8$.
Corrigé :
1. Raison : On sait que $u_5 = u_2 \times q^{5-2} \iff 96 = 12 \times q^3 \iff q^3 = \dfrac{96}{12} = 8$. Puisque les termes sont strictement positifs, $q > 0$. Donc $q = 2$.
2. Terme général : $u_2 = u_0 \times q^2 \iff 12 = u_0 \times 2^2 \iff u_0 = \dfrac{12}{4} = 3$. Ainsi, l'expression est $u_n = 3 \times 2^n$.
3. Calcul de $u_8$ : $u_8 = 3 \times 2^8 = 3 \times 256 = $ $768$.
4. Sens de variation : Comme $u_0 = 3 > 0$ et $q = 2 > 1$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
5. Somme $S$ : $S$ contient $8 - 2 + 1 = 7$ termes. $S = u_2 \times \dfrac{1 - q^7}{1 - q} = 12 \times \dfrac{1 - 2^7}{1 - 2} = 12 \times (2^7 - 1) = 12 \times (128 - 1) = 12 \times 127 = $ $1524$.
Exercice 4 : Application concrète
Un capital de 10 000 € est placé au taux annuel de 3% à intérêts composés. On note $C_0$ le capital initial et $C_n$ celui au bout de $n$ années.
1. Calculer $C_1$ et $C_2$ (arrondir au centime).
2. a) Quelle est la nature de la suite $(C_n)$ ? Préciser sa raison.
b) Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
3. À partir de quelle année le capital aura-t-il augmenté de 50% ?
4. Calculer le capital acquis au bout de 10 ans (arrondir au centime).
5. Si le taux était de 4% à intérêts simples, le capital au bout de 10 ans serait-il plus ou moins élevé ?
Corrigé :
1. Calculs : Augmenter de 3%, c'est multiplier par $1 + \dfrac{3}{100} = 1.03$.
$C_1 = 10\ 000 \times 1.03 = 10\ 300$ €.
$C_2 = 10\ 300 \times 1.03 = 10\ 609$ €.
2. a) La suite $(C_n)$ est une suite géométrique de premier terme $C_0 = 10\ 000$ et de raison $q = 1.03$.
b) $C_n = C_0 \times q^n = $ $10\ 000 \times 1.03^n$.
3. Seuil : Augmenter de 50%, c'est atteindre $15\ 000$ €.
On cherche $n$ tel que $10\ 000 \times 1.03^n \ge 15\ 000 \iff 1.03^n \ge 1.5$.
Par essais : $1.03^{13} \approx 1.468$ et $1.03^{14} \approx 1.512$. À partir de la $14$-ème année.
4. À 10 ans : $C_{10} = 10\ 000 \times 1.03^{10} \approx $ $13439.16$ €.
5. Comparaison : Avec 4% à intérêts simples, l'intérêt annuel est de $400$ €. Au bout de 10 ans : $10\ 000 + 10 \times 400 = 14\ 000$ €. Le capital serait plus élevé.
Exercice 5 : Calcul d'une somme
On considère la somme suivante : $S = 2 + 6 + 18 + ... + 4374$
1. Montrer que ce sont les termes d'une suite géométrique. Préciser $u_0$ et $q$.
2. Déterminer le nombre de termes de cette somme.
3. Calculer la somme $S$.
4. On note $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_n > 100\ 000$.
Corrigé :
1. Identification : Le rapport entre deux termes consécutifs est constant ($\dfrac{6}{2}=3$, $\dfrac{18}{6}=3$). Il s'agit des termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $q = 3$.
2. Nombre de termes : Le terme général est $u_n = 2 \times 3^n$. On cherche $n$ tel que $2 \times 3^n = 4374 \iff 3^n = 2187$. Sachant que $3^7 = 2187$, le dernier terme est $u_7$. Il y a donc $7 - 0 + 1 = 8$ termes.
3. Somme : $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q} = 2 \times \dfrac{1 - 3^8}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{1 - 6561}{-2} = $ $6560$.
4. Expression de $S_n$ : $S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 2 \times \dfrac{1 - 3^{n+1}}{1 - 3} = $ $3^{n+1} - 1$.
5. Inéquation : On cherche $n$ tel que $3^{n+1} - 1 > 100\ 000 \iff 3^{n+1} > 100\ 001$.
Par essais, $3^{10} = 59049$ et $3^{11} = 177147$. Donc $n+1 = 11$, ce qui donne $n = 10$.