Exercice 1 : Étude des variations (suites explicites) Exercise 1: Study of variations (explicit sequences) Ejercicio 1: Estudio de variaciones (sucesiones explícitas)

Étudier le sens de variation des suites suivantes :

$u_n = n^2 - 4n + 3$, définie pour $n \ge 2$.
$v_n = \dfrac{3n+1}{n+2}$, définie pour $n \in \mathbb{N}$.
$w_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n - 5$, définie pour $n \in \mathbb{N}$.
$t_n = -2n^2 + 3n - 1$, définie pour $n \in \mathbb{N}$.
$s_n = \dfrac{2^n}{n}$, définie pour $n \ge 1$.

Corrigé : Solution: Solución:

1. Suite $(u_n)$ :

On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour $n \ge 2$.

$u_{n+1} = (n+1)^2 - 4(n+1) + 3 = (n^2 + 2n + 1) - 4n - 4 + 3 = n^2 - 2n$

$u_{n+1} - u_n = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3$

Pour $n \ge 2$, on a $2n \ge 4$, ce qui implique $2n - 3 \ge 4 - 3 = 1$.

Donc, pour tout $n \ge 2$, $u_{n+1} - u_n > 0$.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante pour $n \ge 2$.

2. Suite $(v_n)$ :

On étudie le signe de $v_{n+1} - v_n$.

$v_{n+1} = \dfrac{3(n+1)+1}{(n+1)+2} = \dfrac{3n+4}{n+3}$

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{3n+4}{n+3} - \dfrac{3n+1}{n+2} = \dfrac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

Numérateur : $(3n^2 + 6n + 4n + 8) - (3n^2 + 9n + n + 3) = (3n^2 + 10n + 8) - (3n^2 + 10n + 3) = 5$

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{5}{(n+3)(n+2)}$

Pour $n \in \mathbb{N}$, $n+3 > 0$ et $n+2 > 0$. Le numérateur est $5 > 0$.

Comme $v_{n+1} - v_n > 0$, la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

3. Suite $(w_n)$ :

On étudie le signe de $w_{n+1} - w_n$.

$w_{n+1} - w_n = \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 5\right) - \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n - 5\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

$= \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times \left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$

Comme $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} > 0$ pour tout $n$, on a $w_{n+1} - w_n < 0$.

La suite $(w_n)$ est strictement décroissante.

4. Suite $(t_n)$ :

On étudie le signe de $t_{n+1} - t_n$.

$t_{n+1} = -2(n+1)^2 + 3(n+1) - 1 = -2(n^2 + 2n + 1) + 3n + 3 - 1 = -2n^2 - 4n - 2 + 3n + 2 = -2n^2 - n$

$t_{n+1} - t_n = (-2n^2 - n) - (-2n^2 + 3n - 1) = -4n + 1$

Or $-4n + 1 < 0 \iff 4n > 1 \iff n > 0.25$. Donc pour $n \ge 1$, $t_{n+1} - t_n < 0$.

La suite $(t_n)$ est strictement décroissante pour $n \ge 1$.

5. Suite $(s_n)$ :

Comme $s_n > 0$ pour tout $n \ge 1$, on étudie le quotient $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}$.

$s_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1}$

$\dfrac{s_{n+1}}{s_n} = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{n+1}}{\dfrac{2^n}{n}} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1} \times \dfrac{n}{2^n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n}{n+1} = 2 \times \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{2n}{n+1}$

On compare ce quotient à 1 :

$\dfrac{2n}{n+1} > 1 \iff 2n > n + 1 \iff n > 1$.

Pour $n \ge 2$, $\dfrac{s_{n+1}}{s_n} > 1$, ce qui implique $s_{n+1} > s_n$.

La suite $(s_n)$ est strictement croissante pour $n \ge 1$.

1. Sequence $(u_n)$:

We study the sign of $u_{n+1} - u_n$ for $n \ge 2$.

$u_{n+1} = (n+1)^2 - 4(n+1) + 3 = (n^2 + 2n + 1) - 4n - 4 + 3 = n^2 - 2n$

$u_{n+1} - u_n = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3$

For $n \ge 2$, we have $2n \ge 4$, which implies $2n - 3 \ge 4 - 3 = 1$.

Thus, for all $n \ge 2$, $u_{n+1} - u_n > 0$.

The sequence $(u_n)$ is strictly increasing for $n \ge 2$.

2. Sequence $(v_n)$:

We study the sign of $v_{n+1} - v_n$.

$v_{n+1} = \dfrac{3(n+1)+1}{(n+1)+2} = \dfrac{3n+4}{n+3}$

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{3n+4}{n+3} - \dfrac{3n+1}{n+2} = \dfrac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

Numerator: $(3n^2 + 6n + 4n + 8) - (3n^2 + 9n + n + 3) = (3n^2 + 10n + 8) - (3n^2 + 10n + 3) = 5$

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{5}{(n+3)(n+2)}$

For $n \in \mathbb{N}$, $n+3 > 0$ and $n+2 > 0$. The numerator is $5 > 0$.

Since $v_{n+1} - v_n > 0$, the sequence $(v_n)$ is strictly increasing.

3. Sequence $(w_n)$:

We study the sign of $w_{n+1} - w_n$.

$w_{n+1} - w_n = \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 5\right) - \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n - 5\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

$= \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times \left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$

Since $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} > 0$ for all $n$, we have $w_{n+1} - w_n < 0$.

The sequence $(w_n)$ is strictly decreasing.

4. Sequence $(t_n)$:

We study the sign of $t_{n+1} - t_n$.

$t_{n+1} = -2(n+1)^2 + 3(n+1) - 1 = -2(n^2 + 2n + 1) + 3n + 3 - 1 = -2n^2 - 4n - 2 + 3n + 2 = -2n^2 - n$

$t_{n+1} - t_n = (-2n^2 - n) - (-2n^2 + 3n - 1) = -4n + 1$

But $-4n + 1 < 0 \iff 4n > 1 \iff n > 0.25$. Therefore, for $n \ge 1$, $t_{n+1} - t_n < 0$.

The sequence $(t_n)$ is strictly decreasing for $n \ge 1$.

5. Sequence $(s_n)$:

Since $s_n > 0$ for all $n \ge 1$, we study the quotient $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}$.

$s_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1}$

$\dfrac{s_{n+1}}{s_n} = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{n+1}}{\dfrac{2^n}{n}} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1} \times \dfrac{n}{2^n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n}{n+1} = 2 \times \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{2n}{n+1}$

We compare this quotient to 1:

$\dfrac{2n}{n+1} > 1 \iff 2n > n + 1 \iff n > 1$.

For $n \ge 2$, $\dfrac{s_{n+1}}{s_n} > 1$, which implies $s_{n+1} > s_n$.

The sequence $(s_n)$ is strictly increasing for $n \ge 1$.

1. Sucesión $(u_n)$:

Estudiamos el signo de $u_{n+1} - u_n$ para $n \ge 2$.

$u_{n+1} = (n+1)^2 - 4(n+1) + 3 = (n^2 + 2n + 1) - 4n - 4 + 3 = n^2 - 2n$

$u_{n+1} - u_n = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3$

Para $n \ge 2$, tenemos $2n \ge 4$, lo que implica $2n - 3 \ge 4 - 3 = 1$.

Por lo tanto, para todo $n \ge 2$, $u_{n+1} - u_n > 0$.

La sucesión $(u_n)$ es estrictamente creciente para $n \ge 2$.

2. Sucesión $(v_n)$:

Estudiamos el signo de $v_{n+1} - v_n$.

$v_{n+1} = \dfrac{3(n+1)+1}{(n+1)+2} = \dfrac{3n+4}{n+3}$

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{3n+4}{n+3} - \dfrac{3n+1}{n+2} = \dfrac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

Numerador: $(3n^2 + 6n + 4n + 8) - (3n^2 + 9n + n + 3) = (3n^2 + 10n + 8) - (3n^2 + 10n + 3) = 5$

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{5}{(n+3)(n+2)}$

Para $n \in \mathbb{N}$, $n+3 > 0$ y $n+2 > 0$. El numerador es $5 > 0$.

Como $v_{n+1} - v_n > 0$, la sucesión $(v_n)$ es estrictamente creciente.

3. Sucesión $(w_n)$:

Estudiamos el signo de $w_{n+1} - w_n$.

$w_{n+1} - w_n = \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 5\right) - \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n - 5\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

$= \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times \left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$

Dado que $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} > 0$ para todo $n$, tenemos $w_{n+1} - w_n < 0$.

La sucesión $(w_n)$ es estrictamente decreciente.

4. Sucesión $(t_n)$:

Estudiamos el signo de $t_{n+1} - t_n$.

$t_{n+1} = -2(n+1)^2 + 3(n+1) - 1 = -2(n^2 + 2n + 1) + 3n + 3 - 1 = -2n^2 - 4n - 2 + 3n + 2 = -2n^2 - n$

$t_{n+1} - t_n = (-2n^2 - n) - (-2n^2 + 3n - 1) = -4n + 1$

Pero $-4n + 1 < 0 \iff 4n > 1 \iff n > 0.25$. Por lo tanto, para $n \ge 1$, $t_{n+1} - t_n < 0$.

La sucesión $(t_n)$ es estrictamente decreciente para $n \ge 1$.

5. Sucesión $(s_n)$:

Dado que $s_n > 0$ para todo $n \ge 1$, estudiamos el cociente $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}$.

$s_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1}$

$\dfrac{s_{n+1}}{s_n} = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{n+1}}{\dfrac{2^n}{n}} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1} \times \dfrac{n}{2^n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n}{n+1} = 2 \times \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{2n}{n+1}$

Comparamos este cociente con 1:

$\dfrac{2n}{n+1} > 1 \iff 2n > n + 1 \iff n > 1$.

Para $n \ge 2$, $\dfrac{s_{n+1}}{s_n} > 1$, lo que implica $s_{n+1} > s_n$.

La sucesión $(s_n)$ es estrictamente creciente para $n \ge 1$.

Exercice 2 : Étude des variations (suites récurrentes) Exercise 2: Study of variations (recurrent sequences) Ejercicio 2: Estudio de variaciones (sucesiones recurrentes)

Étudier le sens de variation des suites suivantes :

$(u_n)$ définie par : $\begin{cases} u_0 = 7 \\ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n - 5 \end{cases}$
$(v_n)$ définie par : $\begin{cases} v_0 = 2 \\ \forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = v_n + n^2 + 1 \end{cases}$
$(w_n)$ définie par : $\begin{cases} w_0 = 4 \\ \forall n \in \mathbb{N}, w_{n+1} = w_n - n^2 + n - 1 \end{cases}$
$(x_n)$ définie par : $\begin{cases} x_0 = 0 \\ \forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1} = x_n + \dfrac{1}{n+1} \end{cases}$
$(y_n)$ définie par : $\begin{cases} y_0 = 10 \\ \forall n \in \mathbb{N}, y_{n+1} = y_n - 2^n \end{cases}$

Corrigé : Solution: Solución:

1. Suite $(u_n)$ :

On calcule $u_{n+1} - u_n = (u_n - 5) - u_n = -5$.

Comme $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

2. Suite $(v_n)$ :

On calcule $v_{n+1} - v_n = (v_n + n^2 + 1) - v_n = n^2 + 1$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n^2 \ge 0$, donc $n^2 + 1 \ge 1 > 0$.

Comme $v_{n+1} - v_n > 0$, la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

3. Suite $(w_n)$ :

On calcule $w_{n+1} - w_n = (w_n - n^2 + n - 1) - w_n = -n^2 + n - 1$.

On étudie le signe du polynôme $P(n) = -n^2 + n - 1$.

Discriminant : $\Delta = 1^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3$.

Puisque $\Delta < 0$ et $a = -1 < 0$, le trinôme est strictement négatif pour tout $n \in \mathbb{R}$.

Ainsi, $w_{n+1} - w_n < 0$ pour tout $n$. La suite $(w_n)$ est strictement décroissante.

4. Suite $(x_n)$ :

On calcule $x_{n+1} - x_n = \left(x_n + \dfrac{1}{n+1}\right) - x_n = \dfrac{1}{n+1}$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $n+1 \ge 1 > 0$, donc $\dfrac{1}{n+1} > 0$.

Puisque $x_{n+1} - x_n > 0$, la suite $(x_n)$ est strictement croissante.

5. Suite $(y_n)$ :

On calcule $y_{n+1} - y_n = (y_n - 2^n) - y_n = -2^n$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $2^n > 0$, donc $-2^n < 0$.

Puisque $y_{n+1} - y_n < 0$, la suite $(y_n)$ est strictement décroissante.

Exercice 3 : Conjectures de limites à la calculatrice Exercise 3: Conjecturing limits using a calculator Ejercicio 3: Conjeturar límites con la calculadora

À l'aide de votre calculatrice, calculer $u_{10}$, $u_{100}$ et $u_{1000}$ pour les suites suivantes. Conjecturer la limite de chaque suite quand $n \to +\infty$.

$(u_n)$ : $u_n = \dfrac{4n^2 - 5n}{2n^2 + 1}$
$(v_n)$ : $v_n = 100 - (0.9)^n$
$(w_n)$ : $w_n = n^3 - 50n^2$
$(z_n)$ : $\begin{cases} z_0 = 50 \\ \forall n \in \mathbb{N}, z_{n+1} = 0.5z_n + 10 \end{cases}$
$(t_n)$ : $t_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ (pour $n \ge 1$)

Corrigé : Solution: Solución:

1. Suite $(u_n)$ :

$u_{10} \approx 1.74$
$u_{100} \approx 1.97$
$u_{1000} \approx 1.997$

Conjecture : La limite de la suite semble être $2$.

2. Suite $(v_n)$ :

$v_{10} \approx 96.51$
$v_{100} \approx 99.997$

Conjecture : La limite de la suite semble être $100$.

3. Suite $(w_n)$ :

$w_{10} = -4000$
$w_{100} = 500000$
$w_{1000} = 9.5 \times 10^8$

Conjecture : La limite de la suite semble être $+\infty$.

4. Suite $(z_n)$ :

$z_{10} \approx 20.029$
$z_{100} \approx 20.000$

Conjecture : La limite de la suite semble être $20$.

5. Suite $(t_n)$ :

$t_{10} = 0.1$
$t_{100} = 0.01$
$t_{1000} = 0.001$

Conjecture : La limite de la suite semble être $0$.

Exercice 4 : Représentation graphique Exercise 4: Graphical representation Ejercicio 4: Representación gráfica

Construire la représentation graphique des 5 premiers termes (de $n=0$ à $n=4$) des suites suivantes dans un repère :

$u_n = -0.5n + 3$
$v_n = n^2 - 4n + 3$
$w_n = 2^n - 5$
$\begin{cases} x_0 = -2 \\ x_{n+1} = x_n + 1.5 \end{cases}$
$y_n = \dfrac{12}{n+1}$

Corrigé : Solution: Solución:

1. Suite $(u_n)$ :

Les termes sont : $3$, $2.5$, $2$, $1.5$ et $1$.

Les points $A_n(n ; u_n)$ sont alignés sur la droite d'équation $y = -0.5x + 3$.

2. Suite $(v_n)$ :

Les termes sont : $3$, $0$, $-1$, $0$ et $3$.

Les points $B_n(n ; v_n)$ sont placés sur une parabole d'équation $y = x^2 - 4x + 3$.

3. Suite $(w_n)$ :

Les termes sont : $-4$, $-3$, $-1$, $3$ et $11$.

Les points $C_n(n ; w_n)$ croissent très rapidement de façon exponentielle.

4. Suite $(x_n)$ :

Les termes sont : $-2$, $-0.5$, $1$, $2.5$ et $4$.

Il s'agit d'une suite arithmétique de raison $1.5$. Les points $D_n(n ; x_n)$ sont alignés sur la droite d'équation $y = 1.5x - 2$.

5. Suite $(y_n)$ :

Les termes sont : $12$, $6$, $4$, $3$ et $2.4$.

Les points $E_n(n ; y_n)$ sont situés sur la courbe de la fonction $x \mapsto \dfrac{12}{x+1}$.

Exercice 5 : Algorithmique (Python) Exercise 5: Algorithmics (Python) Ejercicio 5: Algoritmia (Python)

On considère la fonction Python suivante :

def terme_suite(n):
    u = 5
    for i in range(n):
        u = 2 * u - 3
    return u

Quelle est la valeur renvoyée par l'appel terme_suite(3) ? Détailler les étapes de la boucle.
Que calcule cette fonction de manière générale ?
Modifier le code de cette fonction pour qu'elle ne renvoie plus uniquement le dernier terme, mais la liste de tous les termes calculés de l'indice 0 jusqu'à l'indice $n$.

Consider the following Python function:

def terme_suite(n):
    u = 5
    for i in range(n):
        u = 2 * u - 3
    return u

What is the value returned by the call terme_suite(3)? Detail the steps of the loop.
What does this function calculate in general?
Modify the code of this function so that it no longer returns only the last term, but the list of all calculated terms from index 0 to index $n$.

Consideremos la siguiente función en Python:

def terme_suite(n):
    u = 5
    for i in range(n):
        u = 2 * u - 3
    return u

¿Cuál es el valor devuelto por la llamada terme_suite(3)? Detalle los pasos del bucle.
¿Qué calcula esta función de forma general?
Modifique el código de esta función para que ya no devuelva únicamente el último término, sino la lista de todos los términos calculados desde el índice 0 hasta el índice $n$.

Corrigé : Solution: Solución:

1. Appel de terme_suite(3) :

Initialisation : $u = 5$. La boucle tourne 3 fois (pour $i = 0$, $1$ et $2$).

$i=0$ (1er passage) : $u \gets 2 \times 5 - 3 = 7$
$i=1$ (2ème passage) : $u \gets 2 \times 7 - 3 = 11$
$i=2$ (3ème passage) : $u \gets 2 \times 11 - 3 = 19$

La valeur renvoyée est 19.

2. Ce que calcule la fonction :

Cette fonction calcule le terme de rang $n$ (soit $u_n$) de la suite définie par récurrence par :

$\begin{cases} u_0 = 5 \\ u_{n+1} = 2u_n - 3 \end{cases}$

3. Modification de la fonction :

Pour stocker tous les termes, on utilise une liste (qu'on initialise avec le premier terme $u_0 = 5$) et on ajoute les éléments avec la méthode append() :

def liste_termes(n):
    u = 5
    liste = [u]
    for i in range(n):
        u = 2 * u - 3
        liste.append(u)
    return liste

1. Call to terme_suite(3):

Initialization: $u = 5$. The loop runs 3 times (for $i = 0$, $1$ and $2$).

$i=0$ (1st pass): $u \gets 2 \times 5 - 3 = 7$
$i=1$ (2nd pass): $u \gets 2 \times 7 - 3 = 11$
$i=2$ (3rd pass): $u \gets 2 \times 11 - 3 = 19$

The returned value is 19.

2. What the function calculates:

This function calculates the term of rank $n$ (i.e. $u_n$) of the sequence defined by recurrence by:

$\begin{cases} u_0 = 5 \\ u_{n+1} = 2u_n - 3 \end{cases}$

3. Modification of the function:

To store all the terms, we use a list (which is initialized with the first term $u_0 = 5$) and we add the elements using the append() method:

def liste_termes(n):
    u = 5
    liste = [u]
    for i in range(n):
        u = 2 * u - 3
        liste.append(u)
    return liste

1. Llamada a terme_suite(3):

Inicialización: $u = 5$. El bucle se ejecuta 3 veces (para $i = 0$, $1$ y $2$).

$i=0$ (1ra pasada): $u \gets 2 \times 5 - 3 = 7$
$i=1$ (2da pasada): $u \gets 2 \times 7 - 3 = 11$
$i=2$ (3ra pasada): $u \gets 2 \times 11 - 3 = 19$

El valor devuelto es 19.

2. Qué calcula la función:

Esta función calcula el término de rango $n$ (es decir $u_n$) de la sucesión definida por recurrencia por:

$\begin{cases} u_0 = 5 \\ u_{n+1} = 2u_n - 3 \end{cases}$

3. Modificación de la función:

Para almacenar todos los términos, utilizamos una lista (que inicializamos con el primer término $u_0 = 5$) y añadimos los elementos con el método append():

def liste_termes(n):
    u = 5
    liste = [u]
    for i in range(n):
        u = 2 * u - 3
        liste.append(u)
    return liste

ÉTUDE D'UNE SUITE SEQUENCE STUDY ESTUDIO DE UNA SUCESIÓN

Exercice 1 : Étude des variations (suites explicites) Exercise 1: Study of variations (explicit sequences) Ejercicio 1: Estudio de variaciones (sucesiones explícitas)

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 2 : Étude des variations (suites récurrentes) Exercise 2: Study of variations (recurrent sequences) Ejercicio 2: Estudio de variaciones (sucesiones recurrentes)

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 3 : Conjectures de limites à la calculatrice Exercise 3: Conjecturing limits using a calculator Ejercicio 3: Conjeturar límites con la calculadora

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 4 : Représentation graphique Exercise 4: Graphical representation Ejercicio 4: Representación gráfica

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 5 : Algorithmique (Python) Exercise 5: Algorithmics (Python) Ejercicio 5: Algoritmia (Python)

Corrigé : Solution: Solución:

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