SUITES NUMÉRIQUES
Exercice 1 : Calculs de termes (Suites explicites)
On considère les suites explicites suivantes :
\( 1. \) \( (u_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par : \( u_n = 2n^2 + 5n - 3 \)
\( 2. \) \( (v_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par : \( v_n = \dfrac{5n - 2}{n + 1} \)
\( 3. \) \( (w_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) par : \( w_n = \dfrac{(-1)^n}{n} \)
\( 4. \) \( (x_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par : \( x_n = 3 \times 2^n - 1 \)
\( 5. \) \( (y_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par : \( y_n = \sqrt{3n + 1} \)
Calculer :
a) \( u_0 \), \( u_1 \) et \( u_2 \).
b) \( v_0 \), \( v_2 \) et \( v_5 \).
c) \( w_1 \), \( w_2 \) et \( w_3 \).
d) \( x_0 \), \( x_2 \) et \( x_3 \).
e) \( y_0 \), \( y_1 \) et \( y_5 \).
Corrigé :
a) Calculs pour \( (u_n) \):
\( u_0 = 2 \times 0^2 + 5 \times 0 - 3 = \) \( -3 \)
\( u_1 = 2 \times 1^2 + 5 \times 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = \) \( 4 \)
\( u_2 = 2 \times 2^2 + 5 \times 2 - 3 = 8 + 10 - 3 = \) \( 15 \)
b) Calculs pour \( (v_n) \):
\( v_0 = \dfrac{5 \times 0 - 2}{0 + 1} = \) \( -2 \)
\( v_2 = \dfrac{5 \times 2 - 2}{2 + 1} = \) \( \dfrac{8}{3} \)
\( v_5 = \dfrac{5 \times 5 - 2}{5 + 1} = \dfrac{23}{6} = \) \( \dfrac{23}{6} \)
c) Calculs pour \( (w_n) \):
\( w_1 = \dfrac{(-1)^1}{1} = \) \( -1 \)
\( w_2 = \dfrac{(-1)^2}{2} = \) \( \dfrac{1}{2} \)
\( w_3 = \dfrac{(-1)^3}{3} = \) \( -\dfrac{1}{3} \)
d) Calculs pour \( (x_n) \):
\( x_0 = 3 \times 2^0 - 1 = 3 \times 1 - 1 = \) \( 2 \)
\( x_2 = 3 \times 2^2 - 1 = 3 \times 4 - 1 = \) \( 11 \)
\( x_3 = 3 \times 2^3 - 1 = 3 \times 8 - 1 = \) \( 23 \)
e) Calculs pour \( (y_n) \):
\( y_0 = \sqrt{3 \times 0 + 1} = \sqrt{1} = \) \( 1 \)
\( y_1 = \sqrt{3 \times 1 + 1} = \sqrt{4} = \) \( 2 \)
\( y_5 = \sqrt{3 \times 5 + 1} = \sqrt{16} = \) \( 4 \)
Exercice 2 : Calculs de termes (Suites récurrentes)
Calculer \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \) pour les suites suivantes :
\( 1. \) \( (u_n) \) définie par : \( \begin{cases} u_0 = 4 \\ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 3u_n - 1 \end{cases} \)
\( 2. \) \( (u_n) \) définie par : \( \begin{cases} u_0 = -2 \\ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3 \end{cases} \)
\( 3. \) \( (u_n) \) définie par : \( \begin{cases} u_0 = 1 \\ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n^2 + u_n \end{cases} \)
\( 4. \) \( (u_n) \) définie par : \( \begin{cases} u_0 = 2 \\ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n + 1} \end{cases} \)
\( 5. \) \( (u_n) \) définie par : \( \begin{cases} u_0 = 7 \\ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} \end{cases} \)
Corrigé :
\( 1. \) Calculs :
\( u_1 = 3u_0 - 1 = 3 \times 4 - 1 = \) \( 11 \)
\( u_2 = 3u_1 - 1 = 3 \times 11 - 1 = \) \( 32 \)
\( u_3 = 3u_2 - 1 = 3 \times 32 - 1 = \) \( 95 \)
\( 2. \) Calculs :
\( u_1 = \dfrac{1}{2}u_0 + 3 = \dfrac{1}{2} \times (-2) + 3 = -1 + 3 = \) \( 2 \)
\( u_2 = \dfrac{1}{2}u_1 + 3 = \dfrac{1}{2} \times 2 + 3 = 1 + 3 = \) \( 4 \)
\( u_3 = \dfrac{1}{2}u_2 + 3 = \dfrac{1}{2} \times 4 + 3 = 2 + 3 = \) \( 5 \)
\( 3. \) Calculs :
\( u_1 = u_0^2 + u_0 = 1^2 + 1 = \) \( 2 \)
\( u_2 = u_1^2 + u_1 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = \) \( 6 \)
\( u_3 = u_2^2 + u_2 = 6^2 + 6 = 36 + 6 = \) \( 42 \)
\( 4. \) Calculs :
\( u_1 = \dfrac{u_0}{u_0 + 1} = \dfrac{2}{2 + 1} = \) \( \dfrac{2}{3} \)
\( u_2 = \dfrac{u_1}{u_1 + 1} = \dfrac{2/3}{2/3 + 1} = \dfrac{2/3}{5/3} = \) \( \dfrac{2}{5} \)
\( u_3 = \dfrac{u_2}{u_2 + 1} = \dfrac{2/5}{2/5 + 1} = \dfrac{2/5}{7/5} = \) \( \dfrac{2}{7} \)
\( 5. \) Calculs :
\( u_1 = \sqrt{u_0 + 2} = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = \) \( 3 \)
\( u_2 = \sqrt{u_1 + 2} = \sqrt{3 + 2} = \) \( \sqrt{5} \)
\( u_3 = \sqrt{u_2 + 2} = \) \( \sqrt{\sqrt{5} + 2} \)
Exercice 3 : Manipulation d'indices (Suites explicites)
On considère la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par :
\( u_n = -3n^2 + 2n \)
Exprimer en fonction de \( n \) :
a) \( u_{n+1} \)
b) \( u_{n-1} \) (pour \( n \ge 1 \))
c) \( u_{2n} \)
d) \( u_{2n+1} \)
e) \( u_{n+2} \)
Corrigé :
a) \( u_{n+1} = -3(n+1)^2 + 2(n+1) = -3(n^2+2n+1) + 2n + 2 = \) \( -3n^2 - 4n - 1 \)
b) \( u_{n-1} = -3(n-1)^2 + 2(n-1) = -3(n^2-2n+1) + 2n - 2 = \) \( -3n^2 + 8n - 5 \)
c) \( u_{2n} = -3(2n)^2 + 2(2n) = \) \( -12n^2 + 4n \)
d) \( u_{2n+1} = -3(2n+1)^2 + 2(2n+1) = -3(4n^2+4n+1) + 4n + 2 = -12n^2-12n-3+4n+2 = \) \( -12n^2 - 8n - 1 \)
e) \( u_{n+2} = -3(n+2)^2 + 2(n+2) = -3(n^2+4n+4) + 2n + 4 = -3n^2-12n-12+2n+4 = \) \( -3n^2 - 10n - 8 \)
Exercice 4 : Manipulation d'indices (Suites récurrentes)
On considère la suite \( (v_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par la relation de récurrence :
\( v_{n+1} = 2v_n - 3n + 1 \)
Exprimer :
a) \( v_{n+2} \) en fonction de \( v_{n+1} \) et de \( n \).
b) \( v_{n} \) en fonction de \( v_{n-1} \) et de \( n \) (pour \( n \ge 1 \)).
c) \( v_{n+3} \) en fonction de \( v_{n+2} \) et de \( n \).
d) \( v_{n+2} \) en fonction de \( v_n \) et de \( n \).
e) \( v_{n-1} \) en fonction de \( v_{n-2} \) et de \( n \) (pour \( n \ge 2 \)).
Corrigé :
a) On remplace \( n \) par \( n+1 \) dans la relation de récurrence :
\( v_{(n+1)+1} = 2v_{n+1} - 3(n+1) + 1 \)
\( v_{n+2} = 2v_{n+1} - 3n - 3 + 1 \)
\( v_{n+2} = 2v_{n+1} - 3n - 2 \)
b) On remplace \( n \) par \( n-1 \) dans la relation de récurrence :
\( v_{(n-1)+1} = 2v_{n-1} - 3(n-1) + 1 \)
\( v_n = 2v_{n-1} - 3n + 3 + 1 \)
\( v_n = 2v_{n-1} - 3n + 4 \)
c) On remplace \( n \) par \( n+2 \) dans la relation de récurrence :
\( v_{(n+2)+1} = 2v_{n+2} - 3(n+2) + 1 \)
\( v_{n+3} = 2v_{n+2} - 3n - 6 + 1 \)
\( v_{n+3} = 2v_{n+2} - 3n - 5 \)
d) En reprenant le résultat du a) et en remplaçant \( v_{n+1} \) par son expression :
\( v_{n+2} = 2(2v_n - 3n + 1) - 3n - 2 \)
\( v_{n+2} = 4v_n - 6n + 2 - 3n - 2 \)
\( v_{n+2} = 4v_n - 9n \)
e) On remplace \( n \) par \( n-2 \) dans la relation de récurrence :
\( v_{(n-2)+1} = 2v_{n-2} - 3(n-2) + 1 \)
\( v_{n-1} = 2v_{n-2} - 3n + 6 + 1 \)
\( v_{n-1} = 2v_{n-2} - 3n + 7 \)
Exercice 5 : Problème concret
Le \( 1^\text{er} \) janvier 2024, une association compte \( 500 \) adhérents. Chaque année, l'association observe que :
- \( 20\% \) des adhérents de l'année précédente ne renouvellent pas leur adhésion.
- \( 150 \) nouvelles personnes adhèrent.
On modélise le nombre d'adhérents le \( 1^\text{er} \) janvier de l'année \( 2024 + n \) par une suite \( (a_n) \). Ainsi, \( a_0 = 500 \).
\( 1. \) Calculer \( a_1 \) et \( a_2 \).
\( 2. \) Justifier que pour tout entier naturel \( n \), on a \( a_{n+1} = 0,8 a_n + 150 \).
\( 3. \) À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre d'adhérents en 2030.
Corrigé :
\( 1. \)
En 2025 (\( n = 1 \)), \( 20\% \) partent, donc il en reste \( 80\% \). On ajoute \( 150 \) nouveaux :
\( a_1 = 500 \times \left(1 - \dfrac{20}{100}\right) + 150 = 500 \times 0,8 + 150 = 400 + 150 = \) \( 550 \)
En 2026 (\( n = 2 \)) :
\( a_2 = 550 \times 0,8 + 150 = 440 + 150 = \) \( 590 \)
\( 2. \)
D'une année \( n \) à l'année \( n+1 \), l'association conserve \( 80\% \) de ses effectifs, ce qui correspond à multiplier \( a_n \) par \( 1 - 0,2 = 0,8 \). Ensuite, \( 150 \) nouveaux membres arrivent.
On obtient bien la relation : \( a_{n+1} = 0,8 a_n + 150 \).
\( 3. \)
L'année 2030 correspond au rang \( n = 2030 - 2024 = 6 \).
À la calculatrice, on trouve :
\( a_3 = 622 \)
\( a_4 = 647,6 \)
\( a_5 = 668,08 \)
\( a_6 = 684,464 \)
Le nombre d'adhérents en 2030 sera donc d'environ \( 684 \) personnes.