Probabilités conditionnelles : tableaux et arbres

1) Tableau à double entrée

On calcule d'abord les effectifs :

1. Total : 25 élèves.
2. 11 ans : 48% de 25 = 12 élèves.
3. 13 ans : 1/5 de 25 = 5 élèves.
4. 12 ans : 25 - 12 - 5 = 8 élèves.
5. Cartable (C) : 15 élèves.
6. Sac à dos (S) : 25 - 15 = 10 élèves.
7. Cartable ET 11 ans : 2/3 de 15 = 10 élèves.
8. Sac à dos ET 12 ans : 1/2 de 10 = 5 élèves.

On peut remplir le tableau (les valeurs calculées sont en gras) :

2) Arbre pondéré

P(C) = 15/25 = 0.6. P(S) = 10/25 = 0.4.
Probabilités conditionnelles (depuis le tableau) :
\( P_C(11) = 10/15 \), \( P_C(12) = 3/15 \), \( P_C(13) = 2/15 \).
\( P_S(11) = 2/10 \), \( P_S(12) = 5/10 \), \( P_S(13) = 3/10 \).

1-a) Calcul de P(M ∩ T)

On utilise la formule des probabilités conditionnelles :
\( P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) \)
\( P(M \cap T) = 0.55 \times 0.98 = 0.539 \)
\( P(M \cap T) = 0.539 \)

1-b) Calcul de P(T)

On utilise la donnée \( P_T(M) = 0.60 \).
La formule de \( P_T(M) \) est : \( P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} \)
On isole \( P(T) \) : \( P(T) = \frac{P(M \cap T)}{P_T(M)} \)
\( P(T) = \frac{0.539}{0.60} \approx 0.8983 \)
\( P(T) \approx 0.90 \) (arrondi au centième)

2-a) Calcul de P(\(\overline{M}\) ∩ T)

On utilise la formule des probabilités totales avec la partition \( M \) et \( \overline{M} \) :
\( P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) \)
On utilise la valeur admise \( P(T) = 0.90 \).
\( 0.90 = 0.539 + P(\overline{M} \cap T) \)
\( P(\overline{M} \cap T) = 0.90 - 0.539 = 0.361 \)
\( P(\overline{M} \cap T) = 0.361 \)

2-b) Calcul de P\(_{\overline{M}}\)(T)

On utilise la définition :
\( P_{\overline{M}}(T) = \frac{P(\overline{M} \cap T)}{P(\overline{M})} \)
On sait que \( P(\overline{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0.55 = 0.45 \).
\( P_{\overline{M}}(T) = \frac{0.361}{0.45} \approx 0.8022 \)
\( P_{\overline{M}}(T) \approx 0.80 \) (arrondi au centième)

1-a) Probabilités des événements J, R, A

Total clients = 2000.
\( P(J) = \frac{\text{Nb (J)}}{Total} = \frac{900}{2000} = 0.45 \).
\( P(R) = \frac{\text{Nb (R)}}{Total} = \frac{500}{2000} = 0.25 \).
\( P(A) = \frac{\text{Nb (A)}}{Total} = \frac{2000 - 900 - 500}{2000} = \frac{600}{2000} = 0.30 \).
P(J)=0.45, P(R)=0.25, P(A)=0.30.

1-b) Arbre pondéré

Données : \( P_J(S) = 0.95 \), \( P_R(S) = 0.50 \), \( P_A(S) = 0.70 \).

2) Calcul de P(J ∩ S)

On suit la branche J puis S :
\( P(J \cap S) = P(J) \times P_J(S) \)
\( P(J \cap S) = 0.45 \times 0.95 = 0.4275 \)
\( P(J \cap S) = 0.4275 \)

3) Démonstration de P(S)

On utilise la formule des probabilités totales avec la partition (J, R, A) :
\( P(S) = P(J \cap S) + P(R \cap S) + P(A \cap S) \)
\( P(S) = (P(J) \times P_J(S)) + (P(R) \times P_R(S)) + (P(A) \times P_A(S)) \)
\( P(S) = (0.45 \times 0.95) + (0.25 \times 0.50) + (0.30 \times 0.70) \)
\( P(S) = 0.4275 + 0.125 + 0.21 \)
\( P(S) = 0.7625 \) (Ce qui est la valeur demandée)

4) Calcul de P\(_{S}\)(R)

On cherche la probabilité d'avoir eu une coupure récente SACHANT que le client est satisfait.
On utilise la formule de Bayes :
\( P_S(R) = \frac{P(R \cap S)}{P(S)} \)
On a déjà \( P(S) = 0.7625 \).
On calcule \( P(R \cap S) = P(R) \times P_R(S) = 0.25 \times 0.50 = 0.125 \).
\( P_S(R) = \frac{0.125}{0.7625} \approx 0.1639... \)
\( P_S(R) \approx 0.16 \) (arrondi au centième)

Données et Arbre

P(A) = 0.30, P(T) = 0.50.
\( P_A(S) = 0.20 \)
\( P_T(S) = 0.60 \)
P(S) = 0.40 (Probabilité totale)

1) Probabilité de P(B)

Les événements A, T, B forment une partition de l'univers.
\( P(A) + P(T) + P(B) = 1 \)
\( 0.30 + 0.50 + P(B) = 1 \)
\( 0.80 + P(B) = 1 \)
\( P(B) = 1 - 0.80 = 0.20 \)
P(B) = 0.20 (soit 20%)

2) Calcul de P(A ∩ S) et P(T ∩ S)

On utilise la formule de l'intersection :
\( P(A \cap S) = P(A) \times P_A(S) = 0.30 \times 0.20 = 0.06 \)
\( P(T \cap S) = P(T) \times P_T(S) = 0.50 \times 0.60 = 0.30 \)
\( P(A \cap S) = 0.06 \) et \( P(T \cap S) = 0.30 \)

3) Démonstration de P(B ∩ S)

On utilise la formule des probabilités totales (donnée P(S) = 0.40) :
\( P(S) = P(A \cap S) + P(T \cap S) + P(B \cap S) \)
\( 0.40 = 0.06 + 0.30 + P(B \cap S) \)
\( 0.40 = 0.36 + P(B \cap S) \)
\( P(B \cap S) = 0.40 - 0.36 = 0.04 \)
On a bien \( P(B \cap S) = 0.04 \)

Note : On peut aussi trouver \( P_B(S) = \frac{P(B \cap S)}{P(B)} = \frac{0.04}{0.20} = 0.20 \).

4) Calcul de P\(_{S}\)(B)

On cherche la probabilité d'avoir pris le bateau SACHANT que le touriste est resté plus d'une semaine.
\( P_S(B) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)} \)
\( P_S(B) = \frac{0.04}{0.40} = 0.1 \)
\( P_S(B) = 0.1 \) (soit 10%)

1-a) Détermination des probabilités

P(C) = 0.48 (donné)
P(D) = 0.16 (donné)
\( P(E) = 1 - P(C) - P(D) = 1 - 0.48 - 0.16 = 0.36 \).
\( P_D(\overline{P}) = 0.20 \) (donné, 20% non performantes)
\( P_E(P) = 2/3 \) (donné)
P(E) = 0.36, \( P_D(\overline{P}) = 0.20 \), \( P_E(P) = 2/3 \).

1-b) Arbre pondéré

On déduit aussi :
\( P_C(P) = 0.60 \) (donné) donc \( P_C(\overline{P}) = 0.40 \).
\( P_D(\overline{P}) = 0.20 \) (donné) donc \( P_D(P) = 1 - 0.20 = 0.80 \).
\( P_E(P) = 2/3 \) (donné) donc \( P_E(\overline{P}) = 1/3 \).

2) Calcul de P(C ∩ P)

On suit la branche C puis P :
\( P(C \cap P) = P(C) \times P_C(P) \)
\( P(C \cap P) = 0.48 \times 0.60 = 0.288 \)
\( P(C \cap P) = 0.288 \)

3) Démonstration de P(P)

On utilise la formule des probabilités totales avec la partition (C, D, E) :
\( P(P) = P(C \cap P) + P(D \cap P) + P(E \cap P) \)
\( P(P) = (P(C) \times P_C(P)) + (P(D) \times P_D(P)) + (P(E) \times P_E(P)) \)
\( P(P) = (0.48 \times 0.60) + (0.16 \times 0.80) + (0.36 \times 2/3) \)
\( P(P) = 0.288 + 0.128 + 0.24 \)
\( P(P) = 0.656 \) (Ce qui est la valeur demandée)

4) Calcul de P\(_{P}\)(D)

On cherche la probabilité que la souris soit de Dominique SACHANT qu'elle est performante.
On utilise la formule de Bayes :
\( P_P(D) = \frac{P(D \cap P)}{P(P)} \)
On a déjà \( P(P) = 0.656 \).
On a calculé \( P(D \cap P) = P(D) \times P_D(P) = 0.16 \times 0.80 = 0.128 \).
\( P_P(D) = \frac{0.128}{0.656} \approx 0.19512... \)
\( P_P(D) \approx 0.195 \) (arrondi au millième)