Trigonométrie

1) Pour $\frac{33\pi}{7}$

On cherche $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x + 2k\pi \in ]-\pi; \pi]$.

$\frac{33\pi}{7} = \frac{(28+5)\pi}{7} = \frac{28\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} = 4\pi + \frac{5\pi}{7} = 2 \times 2\pi + \frac{5\pi}{7}$.

La mesure principale est $\frac{5\pi}{7}$. Or $\frac{5\pi}{7} \approx 2.24$, ce n'est pas dans $]-\pi; \pi]$.

Erreur dans l'analyse : $\frac{33}{7} \approx 4.71$. On cherche $k$ : $-\pi < \frac{33\pi}{7} + 2k\pi \le \pi \implies -1 < \frac{33}{7} + 2k \le 1$.

$-1 - \frac{33}{7} < 2k \le 1 - \frac{33}{7} \implies -\frac{40}{7} < 2k \le -\frac{26}{7}$.

$-\frac{20}{7} < k \le -\frac{13}{7} \implies -2.85 < k \le -1.85$.

On prend $k = -2$.

Mesure principale : $\frac{33\pi}{7} + 2(-2)\pi = \frac{33\pi}{7} - 4\pi = \frac{33\pi - 28\pi}{7} = \frac{5\pi}{7}$.

Vérification : $\frac{5\pi}{7} \in ]-\pi; \pi]$.

La mesure principale de $\frac{33\pi}{7}$ est $\frac{5\pi}{7}$.

2) Pour $\frac{-101\pi}{3}$

$\frac{-101}{3} \approx -33.66$. On cherche $k$ : $-\pi < \frac{-101\pi}{3} + 2k\pi \le \pi \implies -1 < \frac{-101}{3} + 2k \le 1$.

$-1 + \frac{101}{3} < 2k \le 1 + \frac{101}{3} \implies \frac{98}{3} < 2k \le \frac{104}{3}$.

$\frac{49}{3} < k \le \frac{52}{3} \implies 16.33 < k \le 17.33$.

On prend $k = 17$.

Mesure principale : $\frac{-101\pi}{3} + 2(17)\pi = \frac{-101\pi}{3} + 34\pi = \frac{-101\pi + 102\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

La mesure principale de $\frac{-101\pi}{3}$ est $\frac{\pi}{3}$.

3) Pour $17$

On cherche $k \in \mathbb{Z}$ : $-\pi < 17 + 2k\pi \le \pi$.

On utilise $\pi \approx 3.14159$. $2\pi \approx 6.283$.

$17 / (2\pi) \approx 17 / 6.283 \approx 2.70$. On doit enlever $2$ ou $3$ tours.

Si $k = -2$ : $17 + 2(-2)\pi = 17 - 4\pi \approx 17 - 4 \times 3.1416 = 17 - 12.5664 = 4.4336$. C'est $> \pi$.

Si $k = -3$ : $17 + 2(-3)\pi = 17 - 6\pi \approx 17 - 6 \times 3.1416 = 17 - 18.8496 = -1.8496$. C'est $\in ]-\pi; \pi]$.

La mesure principale de $17$ est $17 - 6\pi$.

1) Angle associé à B

L'angle $\hat{IOB}$ est la somme de $\hat{IOA}$ et $\hat{AOB}$. On suppose que B est dans le sens anti-horaire après A.

$$\hat{IOB} = \hat{IOA} + \hat{AOB} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}$$ $$\hat{IOB} = \frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$$

Cette valeur est bien dans $]-\pi; \pi]$.

Le réel associé à B est $\frac{11\pi}{12}$.

2) Angle associé à C

L'angle $\hat{IOC}$ peut être vu comme $\hat{IOA} - \hat{COA}$ (si C est dans le sens horaire par rapport à A) ou $\hat{IOB} + \hat{BOC}$.

Utilisons $\hat{IOA} - \hat{COA}$ (sens horaire, donc négatif) :

$$\hat{IOC} = \hat{IOA} - \hat{AOC} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3}$$ $$\hat{IOC} = \frac{3\pi}{12} - \frac{8\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}$$

Cette valeur est bien dans $]-\pi; \pi]$.

Le réel associé à C est $-\frac{5\pi}{12}$.

3) Angle associé à D

[BD] est un diamètre. Les points B, O, D sont alignés, D est l'opposé de B.

L'angle $\hat{IOD}$ est $\hat{IOB} + \pi$ (ou $\hat{IOB} - \pi$).

On part de B : $\frac{11\pi}{12}$. On soustrait $\pi$ pour rester dans l'intervalle $]-\pi; \pi]$ :

$$\hat{IOD} = \frac{11\pi}{12} - \pi = \frac{11\pi - 12\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$$

Cette valeur est bien dans $]-\pi; \pi]$.

Le réel associé à D est $-\frac{\pi}{12}$.