La fonction exponentielle

1) Simplification de $A$

$$A = e^{x+3} \times e^{2x-1}$$

On utilise la propriété $e^a \times e^b = e^{a+b}$ :

$$A = e^{(x+3) + (2x-1)} = e^{3x+2}$$ $A = e^{3x+2}$

2) Simplification de $B$

$$B = \frac{e^{5x}}{e^{2-x}}$$

On utilise la propriété $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ :

$$B = e^{5x - (2-x)} = e^{5x - 2 + x} = e^{6x-2}$$ $B = e^{6x-2}$

3) Simplification de $C$

$$C = (e^{3x-2})^2 \times e^{-x}$$

On utilise la propriété $(e^a)^b = e^{a \times b}$ :

$$C = e^{2(3x-2)} \times e^{-x} = e^{6x-4} \times e^{-x}$$

Puis $e^a \times e^b = e^{a+b}$ :

$$C = e^{(6x-4) + (-x)} = e^{5x-4}$$ $C = e^{5x-4}$

4) Factorisation de $D$

$$D = e^{2x} - 2e^x - 3$$

On pose $X = e^x$. Alors $e^{2x} = (e^x)^2 = X^2$. L'expression devient $X^2 - 2X - 3$.

Les racines de $X^2 - 2X - 3 = 0$ sont $X_1 = -1$ et $X_2 = 3$.

Donc $X^2 - 2X - 3 = (X - 3)(X + 1)$.

On remplace $X$ par $e^x$ :

$$D = (e^x - 3)(e^x + 1)$$ $D = (e^x - 3)(e^x + 1)$

5) Simplification de $E$

$$E = \frac{e^{2x} + e^x}{e^x}$$

On factorise le numérateur par $e^x$ :

$$E = \frac{e^x(e^x + 1)}{e^x}$$

Puis on simplifie par $e^x$ (car $e^x \ne 0$) :

$$E = e^x + 1$$ $E = e^x + 1$

1) Simplification de $A$

$$A = \frac{e^{-x} \times (e^{2x+1})^3}{e^{x-2}}$$

D'abord, le numérateur : $e^{-x} \times e^{3(2x+1)} = e^{-x} \times e^{6x+3} = e^{-x + 6x + 3} = e^{5x+3}$.

$$A = \frac{e^{5x+3}}{e^{x-2}}$$

Ensuite, le quotient :

$$A = e^{(5x+3) - (x-2)} = e^{5x + 3 - x + 2} = e^{4x+5}$$ $A = e^{4x+5}$

2) Factorisation de $B$

$$B = e^{x+2} + e^{x+1}$$

On utilise la propriété $e^{a+b} = e^a \times e^b$ pour isoler la plus petite puissance $e^{x+1}$ :

$$B = e^{x+1} \times e^1 + e^{x+1} \times 1$$ $$B = e^{x+1}(e + 1)$$ $B = (e+1)e^{x+1}$

3) Factorisation de $C$

$$C = e^{3x} - e^x$$

On peut écrire $e^{3x} = e^{x} \times e^{2x}$. On factorise par $e^x$ :

$$C = e^x(e^{2x} - 1)$$

On peut même utiliser $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $e^{2x} = (e^x)^2$ :

$$C = e^x(e^x - 1)(e^x + 1)$$ $C = e^x(e^x - 1)(e^x + 1)$

4) Simplification de $D$

$$D = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

On multiplie numérateur et dénominateur par $e^x$ :

$$D = \frac{e^x(e^x - e^{-x})}{e^x(e^x + e^{-x})} = \frac{e^{2x} - e^0}{e^{2x} + e^0}$$

Puisque $e^0 = 1$ :

$$D = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$$ $D = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$

5) Simplification de $E$

$$E = \frac{e^{3x} + e^{2x} + e^x}{e^{2x}}$$

On sépare en trois termes :

$$E = \frac{e^{3x}}{e^{2x}} + \frac{e^{2x}}{e^{2x}} + \frac{e^x}{e^{2x}}$$ $$E = e^{3x-2x} + 1 + e^{x-2x}$$ $$E = e^x + 1 + e^{-x}$$ $E = e^x + 1 + e^{-x}$

1) Équation $e^{5x-3} = e^{x+1}$

Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante (et donc injective) :

$$5x - 3 = x + 1$$ $$5x - x = 1 + 3$$ $$4x = 4$$ $$x = 1$$ $S = \{1\}$

2) Équation $e^{2x-4} = e^2$

Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante (et donc injective) :

$$2x - 4 = 2$$ $$2x = 2 + 4$$ $$2x = 6$$ $$x = 3$$ $S = \{3\}$

3) Équation $e^{2x+1} = 1$

On sait que $1 = e^0$ :

$$e^{2x+1} = e^0$$ $$2x + 1 = 0$$ $$2x = -1$$ $$x = -\frac{1}{2}$$ $S = \{-\frac{1}{2}\}$

4) Équation $(e^x - e^3)(e^{x} + 4) = 0$

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul :

Facteur 1 : $e^x - e^3 = 0 \iff e^x = e^3$.

Puisque $e^a = e^b \iff a=b$, on obtient $x=3$.

Facteur 2 : $e^{x} + 4 = 0 \iff e^x = -4$.

Cette équation n'a aucune solution car $e^x$ est toujours strictement positif ($e^x > 0$).

$S = \{3\}$

5) Équation $e^{2x} - (e^2+1)e^x + e^2 = 0$

On pose $X = e^x$ (avec $X > 0$). L'équation devient $X^2 - (e^2+1)X + e^2 = 0$.

Cette équation du second degré a pour racines $X_1 = e^2$ et $X_2 = 1$.

Cas 1 : $X = e^2$ donne $e^x = e^2$. Donc $x = 2$.

Cas 2 : $X = 1$ donne $e^x = 1$. Or $1 = e^0$, donc $x = 0$.

$S = \{0; 2\}$

1) Inéquation $e^{2x+5} < e^{3x-1}$

Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on conserve l'ordre :

$$2x + 5 < 3x - 1$$ $$5 + 1 < 3x - 2x$$ $$6 < x$$ $S = ]6; +\infty[$

2) Inéquation $e^{x^2} \ge e^{x+2}$

Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :

$$x^2 \ge x + 2$$ $$x^2 - x - 2 \ge 0$$

On cherche les racines du trinôme $x^2 - x - 2 = 0$. Elles sont $x_1 = -1$ et $x_2 = 2$.

Le trinôme est positif à l'extérieur des racines (car $a=1 > 0$) :

$S = ]-\infty; -1] \cup [2; +\infty[$

3) Inéquation $\frac{e^x + 1}{e^x - 1} \le 0$

Le numérateur $e^x + 1$ est toujours strictement positif car $e^x > 0$.

Pour que le quotient soit négatif ou nul ($\le 0$), il faut que le dénominateur soit strictement négatif (car $e^x-1 \ne 0$) :

$$e^x - 1 < 0$$ $$e^x < 1$$

Puisque $1 = e^0$ et que l'exponentielle est croissante :

$$e^x < e^0 \iff x < 0$$ $S = ]-\infty; 0[$

4) Inéquation $e^{x+1} - e \ge 0$

$$e^{x+1} \ge e$$

On sait que $e = e^1$. Puisque l'exponentielle est croissante :

$$e^{x+1} \ge e^1 \iff x + 1 \ge 1$$ $$x \ge 0$$ $S = [0; +\infty[$

5) Inéquation $e^{2x} - (e+1)e^x + e < 0$

On pose $X = e^x$ (avec $X > 0$). L'inéquation devient :

$$X^2 - (e+1)X + e < 0$$

Le trinôme $X^2 - (e+1)X + e$ a pour racines $X_1 = 1$ et $X_2 = e$.

Puisque $e > 1$, le trinôme est négatif entre ses racines :

$$1 < X < e$$

On remplace $X$ par $e^x$ et on utilise $1 = e^0$ :

$$e^0 < e^x < e^1$$

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on conserve l'ordre :

$$0 < x < 1$$ $S = ]0; 1[$

1) Calcul de la dérivée $f'(x)$

La fonction $f$ est de la forme $u \times v$ avec :

1. $u(x) = 2x - 3 \implies u'(x) = 2$
2. $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$

La formule de la dérivée est $(u v)' = u'v + u v'$ :

$$f'(x) = 2 \times e^x + (2x - 3) \times e^x$$

On factorise par $e^x$ :

$$f'(x) = e^x [2 + (2x - 3)] = e^x (2x - 1)$$ $f'(x) = (2x - 1)e^x$

2) Étude du signe de $f'(x)$ et variations

Le signe de $f'(x) = (2x - 1)e^x$ est le même que le signe de $2x - 1$ car $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Étude du signe de $2x - 1$ :

$$2x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}$$ $$2x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{2}$$

Tableau de Signes de $f'(x)$

La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty; \frac{1}{2}]$ et croissante sur $[\frac{1}{2}; +\infty[$.

Minimum : $f(\frac{1}{2}) = (2(\frac{1}{2}) - 3)e^{1/2} = (1 - 3)e^{1/2} = -2e^{1/2}$.

Tableau de Variations de $f$

Minimum en $x=1/2$, valeur $-2e^{1/2}$.

3) Valeur de $f'(0)$

On utilise $f'(x) = (2x - 1)e^x$ :

$$f'(0) = (2(0) - 1)e^0 = (-1) \times 1 = -1$$ $f'(0) = -1$

4) Équation de la tangente $T$ en $x=0$

L'équation est $T: y = f'(0)(x - 0) + f(0)$.

On a $f'(0) = -1$.

On calcule $f(0) = (2(0) - 3)e^0 = (-3) \times 1 = -3$.

$$T: y = -1(x - 0) + (-3)$$ $$T: y = -x - 3$$ $T: y = -x - 3$

5) Intersection avec l'axe des abscisses

Le point d'intersection avec l'axe des abscisses est tel que $f(x) = 0$ :

$$(2x - 3)e^{x} = 0$$

Puisque $e^x$ est toujours strictement positif, l'équation équivaut à :

$$2x - 3 = 0$$ $$2x = 3$$ $$x = \frac{3}{2}$$

Le point d'intersection a pour coordonnées $(\frac{3}{2}; 0)$.

Le point d'intersection est $(\frac{3}{2}; 0)$

1) Traduction des informations

1. $\mathcal{C}_f$ passe par $O(0; 0) \iff f(0) = 0$
2. $\mathcal{C}_f$ passe par $A(1; e^2) \iff f(1) = e^2$
3. La tangente en $x=0$ a pour coefficient directeur $1 \iff f'(0) = 1$

Les conditions sont : $f(0)=0$, $f(1)=e^2$ et $f'(0)=1$.

2) Détermination de $b$

On utilise la condition $f(0) = 0$ :

$$f(0) = (a(0) + b)e^{k(0)} = 0$$ $$b \times e^0 = 0$$

Puisque $e^0 = 1$, on a $b \times 1 = 0$, donc $b=0$.

La fonction s'écrit donc $f(x) = axe^{kx}$.

$b = 0$.

3) Calcul de la dérivée $f'(x)$

On utilise $f(x) = axe^{kx}$. C'est de la forme $u \times v$ avec $u(x) = ax$ et $v(x) = e^{kx}$ :

1. $u(x) = ax \implies u'(x) = a$
2. $v(x) = e^{kx} \implies v'(x) = ke^{kx}$

Formule $(u v)' = u'v + u v'$ :

$$f'(x) = a e^{kx} + ax (ke^{kx})$$

On factorise par $a e^{kx}$ :

$$f'(x) = a e^{kx} (1 + kx)$$ $f'(x) = a(1 + kx)e^{kx}$

4) Détermination de $a$ et $k$

On utilise la condition $f'(0) = 1$ :

$$f'(0) = a(1 + k(0))e^{k(0)} = 1$$ $$a(1) \times 1 = 1 \implies a = 1$$

La fonction s'écrit maintenant $f(x) = xe^{kx}$.

On utilise la condition $f(1) = e^2$ :

$$f(1) = (1)e^{k(1)} = e^2$$ $$e^k = e^2$$

Puisque $e^A = e^B \iff A=B$ :

$$k = 2$$ $a = 1$ et $k = 2$.

5) Expression finale de $f(x)$

En remplaçant les constantes trouvées ($a=1$, $b=0$, $k=2$) dans la formule de départ :

$$f(x) = (1x + 0)e^{2x}$$ $f(x) = xe^{2x}$