Applications concrètes de la dérivation

1. Longueur du troisième côté :
Le fermier utilise \(x\) mètres pour le premier côté perpendiculaire et \(x\) mètres pour le second. La longueur totale de grillage est de 100 m.
La longueur restante pour le troisième côté (parallèle au mur) est donc \(100 - x - x = 100 - 2x\).

2. Aire de l'enclos :
L'aire d'un rectangle est Longueur × largeur.
Ici, \(A(x) = (100 - 2x) \times x = 100x - 2x^2 = -2x^2 + 100x\).

3. Intervalle de définition :
Une longueur doit être positive.

L'intervalle de définition pour \(x\) est donc \(I = ]0; 50[\).

4. Étude des variations de \(A(x)\) :
On étudie la fonction \(A(x) = -2x^2 + 100x\) sur \(]0; 50[\).
a) Dérivée :
\(A'(x) = -2(2x) + 100 = -4x + 100\).
b) Signe de la dérivée :
On cherche quand \(A'(x) = 0\).
\(-4x + 100 = 0 \implies 4x = 100 \implies x = 25\).
\(A'(x)\) est une fonction affine avec un coefficient directeur négatif (-4), donc elle est positive avant 25 et négative après.

c) Tableau de variation :

d) Conclusion :
L'aire est maximale lorsque la dérivée s'annule, c'est-à-dire pour \(x = 25\).
Les dimensions sont :

L'aire maximale est \(A(25) = -2(25)^2 + 100(25) = -2(625) + 2500 = -1250 + 2500 = 1250\) m².

1. Recette \(R(q)\) :
La recette est le prix de vente multiplié par la quantité vendue.
\(R(q) = 100 \times q = 100q\).

2. Bénéfice \(B(q)\) :
Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total : \(B(q) = R(q) - C(q)\).
\(B(q) = 100q - (q^2 + 10q + 900)\)
\(B(q) = 100q - q^2 - 10q - 900\)
\(B(q) = -q^2 + 90q - 900\).

3. Étude des variations de \(B(q)\) :
On étudie la fonction \(B(q) = -q^2 + 90q - 900\) sur \([0; 50]\).
a) Dérivée :
\(B'(q) = -2q + 90\).
b) Signe de la dérivée :
On cherche quand \(B'(q) = 0\).
\(-2q + 90 = 0 \implies 2q = 90 \implies q = 45\).
\(B'(q)\) est une fonction affine décroissante (coefficient -2). Elle est positive avant 45 et négative après.

c) Tableau de variation :
On calcule les valeurs aux bornes et au maximum :

d) Conclusion :
Le bénéfice est maximal lorsque la dérivée s'annule, c'est-à-dire pour \(q = 45\) objets.
Le bénéfice maximal est alors de 1125 €.

1. Valeurs possibles pour \(x\) :
\(x\) est une longueur, donc \(x > 0\).
On enlève deux carrés de côté \(x\) sur chaque côté de 30 cm. On doit donc avoir \(x + x < 30\), soit \(2x < 30\), ce qui signifie \(x < 15\).
L'intervalle de définition est \(I = ]0; 15[\).

2. Dimensions de la base :
Le carton mesure 30 cm. On enlève \(x\) cm de chaque côté.
La longueur de la base est \(30 - 2x\).
La largeur de la base est \(30 - 2x\).

3. Volume \(V(x)\) :
Le volume est (Longueur × Largeur) × Hauteur.
La hauteur de la boîte est \(x\) (le côté du carré qu'on relève).
\(V(x) = (30 - 2x)(30 - 2x) \times x\)
\(V(x) = (900 - 120x + 4x^2) \times x\)
\(V(x) = 900x - 120x^2 + 4x^3 = 4x^3 - 120x^2 + 900x\).

4. Étude des variations de \(V(x)\) :
On étudie \(V(x)\) sur \(]0; 15[\).
a) Dérivée :
\(V'(x) = 4(3x^2) - 120(2x) + 900 = 12x^2 - 240x + 900\).
b) Signe de la dérivée :
On cherche les racines de \(V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 0\).
On peut simplifier par 12 : \(x^2 - 20x + 75 = 0\).
Calcul du discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) :
\(\Delta = (-20)^2 - 4(1)(75) = 400 - 300 = 100\).
Les racines sont \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{20 - 10}{2} = 5\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{20 + 10}{2} = 15\).
\(V'(x)\) est un polynôme du second degré avec \(a=12 > 0\). Il est positif à l'extérieur des racines.

Sur l'intervalle \(I = ]0; 15[\) :

c) Tableau de variation :

d) Conclusion :
Le volume est maximal pour \(x = 5\) cm.
Le volume maximal est \(V(5) = 4(5)^3 - 120(5)^2 + 900(5) = 4(125) - 120(25) + 4500 = 500 - 3000 + 4500 = 2000\) cm³.

1. Calcul de la vitesse \(v(t)\) :
La vitesse est la dérivée de la position :
\(v(t) = p'(t) = 3t^2 - 12(2t) + 36 + 0\)
\(v(t) = 3t^2 - 24t + 36\)

2. Signe de la vitesse \(v(t)\) :
On cherche les racines de \(v(t) = 3t^2 - 24t + 36 = 0\).
On peut simplifier par 3 : \(t^2 - 8t + 12 = 0\).
Calcul du discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) :
\(\Delta = (-8)^2 - 4(1)(12) = 64 - 48 = 16\).
Les racines sont \(t_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 - 4}{2} = 2\) et \(t_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + 4}{2} = 6\).
\(v(t)\) est un polynôme du second degré avec \(a=3 > 0\). Elle est positive à l'extérieur des racines.

3. Interprétation du mouvement :
D'après le tableau de signe :

4. Tableau de variation de la position \(p(t)\) :
On calcule la position aux instants clés :

1. Calculer le coût marginal \(C_m(q)\) :
Le coût marginal est la dérivée du coût total \(C(q)\).
\(C_m(q) = C'(q) = 3q^2 - 12(2q) + 60 + 0\)
\(C_m(q) = 3q^2 - 24q + 60\)

2. Étudier les variations du coût marginal \(C_m(q)\) :
Pour étudier les variations de la fonction \(C_m(q)\), on doit calculer sa propre dérivée, notée \(C_m'(q)\) (c'est la dérivée seconde de \(C(q)\)).
\(C_m'(q) = 3(2q) - 24 + 0 = 6q - 24\).

On étudie le signe de \(C_m'(q)\) sur \([0; 8]\) :
\(6q - 24 = 0 \implies 6q = 24 \implies q = 4\).
C'est une fonction affine croissante (coefficient 6).

3. Minimum du coût marginal :
On dresse le tableau de variation de \(C_m(q)\) (et non de \(C(q)\) !).
On calcule les valeurs aux bornes et au minimum :

Conclusion :
Le coût marginal est minimal lorsque sa dérivée s'annule, c'est-à-dire pour \(q = 4\) (soit 400 objets).
Ce coût marginal minimal est de 12 milliers d'euros.