Applications théoriques de la dérivation

1. Calculer la dérivée :
La fonction \(f\) est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur \([-1; 2]\).
Sa dérivée est \(f'(x) = -2(2x) + 3 - 0 = -4x + 3\).

2. Étudier le signe de la dérivée :
On cherche quand \(f'(x) = 0\).
\(-4x + 3 = 0 \implies -4x = -3 \implies x = \frac{3}{4}\).
\(f'(x)\) est une fonction affine avec un coefficient directeur négatif (-4), donc elle est positive avant sa racine et négative après.

On en déduit que :

3. Calculs d'images :

4. Dresser le tableau de variation :

1. Calculer la dérivée :
La fonction \(g\) est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur \([-2; 3]\).
Sa dérivée est \(g'(x) = 3x^2 - 3(2x) + 0 = 3x^2 - 6x\).

2. Étudier le signe de la dérivée :
On cherche quand \(g'(x) = 0\). C'est une équation du second degré.
\(3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0\).
Les racines sont \(x = 0\) et \(x = 2\).
\(g'(x)\) est un polynôme du second degré (une parabole) avec un coefficient dominant \(a=3\) positif. Elle est donc positive à l'extérieur de ses racines et négative entre ses racines.

On en déduit que :

3. Calculs d'images :

4. Dresser le tableau de variation :

1. Déterminer l'ensemble de définition :
La fonction \(h\) est un quotient. Elle est définie si son dénominateur est non nul.
\(x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1\).
L'ensemble de définition de \(h\) sur l'intervalle \([-5; 3]\) est donc \(D_h = [-5; -1[ \cup ]-1; 3]\).

2. Calculer la dérivée :
La fonction \(h\) est de la forme \(\frac{u}{v}\) avec :

La formule de dérivation est \(h'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(h'(x) = \frac{1(x+1) - (x-2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 2}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}\).

3. Étudier le signe de la dérivée :
On cherche le signe de \(h'(x) = \frac{3}{(x+1)^2}\) sur \(D_h\).

Le quotient d'un nombre positif par un nombre positif est positif. Donc, \(h'(x) > 0\) pour tout \(x \in D_h\).
La fonction \(h\) est strictement croissante sur \([-5; -1[\) et sur \(]-1; 3]\).

4. Calculs d'images :

5. Dresser le tableau de variation :

1. Calculer la dérivée de \(f\) :
La fonction \(f\) est de la forme \(\frac{u}{v}\) avec :

La formule de dérivation est \(f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(f'(x) = \frac{(3x^2)(x+4) - (x^3 - 2)(1)}{(x+4)^2}\)
\(f'(x) = \frac{3x^3 + 12x^2 - x^3 + 2}{(x+4)^2}\)
\(f'(x) = \frac{2x^3 + 12x^2 + 2}{(x+4)^2}\)

2. Étude de la fonction auxiliaire \(g(x)\) :
On note \(g(x) = 2x^3 + 12x^2 + 2\) sur \(I = ]-4; +\infty[\).
a) Variations de \(g\) :
On calcule la dérivée de \(g\) : \(g'(x) = 2(3x^2) + 12(2x) + 0 = 6x^2 + 24x\).
On étudie le signe de \(g'(x)\) : \(g'(x) = 6x(x+4)\).
Les racines sont \(x=0\) et \(x=-4\). C'est un polynôme du second degré avec \(a=6 > 0\).
Sur l'intervalle \(I = ]-4; +\infty[\), \(x+4 > 0\), donc \(g'(x)\) a le même signe que \(6x\).

b) Tableau de variation de \(g\) :
On calcule la valeur du minimum :

c) Signe de \(g(x)\) :
D'après son tableau de variation, la fonction \(g\) admet un minimum global en \(x=0\) qui vaut \(2\).
Puisque le minimum est \(2\), on a \(g(x) \ge 2\) pour tout \(x \in I\).
Donc, \(g(x)\) est strictement positive sur \(I = ]-4; +\infty[\).

3. Signe de \(f'(x)\) et variation de \(f\) :
On a \(f'(x) = \frac{g(x)}{(x+4)^2}\).

Le quotient de deux nombres strictement positifs est positif. Donc, \(f'(x) > 0\) sur \(I\).
La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(I\).
Tableau de variation de \(f\) :

4. a) Équation de la tangente T en \(x=0\) :
L'équation est \(y = f'(0)(x-0) + f(0)\).

L'équation de T est \(y = \frac{1}{8}x - \frac{1}{2}\).

4. b) Vérification :
On étudie la différence \(f(x) - (\frac{1}{8}x - \frac{1}{2})\) :
\( = \frac{x^3 - 2}{x + 4} - \frac{1}{8}x + \frac{1}{2}\)
On met au même dénominateur \(8(x+4)\) :
\( = \frac{8(x^3 - 2)}{8(x+4)} - \frac{x(x+4)}{8(x+4)} + \frac{4(x+4)}{8(x+4)}\)
\( = \frac{(8x^3 - 16) - (x^2 + 4x) + (4x + 16)}{8(x+4)}\)
\( = \frac{8x^3 - 16 - x^2 - 4x + 4x + 16}{8(x+4)}\)
\( = \frac{8x^3 - x^2}{8(x+4)}\). L'égalité est vérifiée.

4. c) Position relative de \(C_f\) et T :
On étudie le signe de la différence \(d(x) = f(x) - (\frac{1}{8}x - \frac{1}{2}) = \frac{x^2(8x - 1)}{8(x+4)}\).
On dresse un tableau de signe sur \(I = ]-4; +\infty[\) :

Conclusion :

1. Calculer la dérivée de \(k\) :
La fonction \(k\) est de la forme \(u \times v\) avec :

La formule de dérivation (pour \(x > 0\)) est \(k'(x) = u'v + uv'\).
\(k'(x) = (2x)(\sqrt{x}) + (x^2 - 8)(\frac{1}{2\sqrt{x}})\)
On met au même dénominateur \(2\sqrt{x}\) :
\(k'(x) = \frac{(2x)(\sqrt{x}) \cdot (2\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} + \frac{x^2 - 8}{2\sqrt{x}}\)
\(k'(x) = \frac{(2x)(2x)}{2\sqrt{x}} + \frac{x^2 - 8}{2\sqrt{x}}\)
\(k'(x) = \frac{4x^2 + x^2 - 8}{2\sqrt{x}}\)
\(k'(x) = \frac{5x^2 - 8}{2\sqrt{x}}\)

2. Étudier le signe de la dérivée :
On étudie le signe de \(k'(x) = \frac{5x^2 - 8}{2\sqrt{x}}\) sur \(]0; +\infty[\).
Le dénominateur \(2\sqrt{x}\) est strictement positif sur cet intervalle.
Le signe de \(k'(x)\) est donc le même que celui du numérateur \(5x^2 - 8\).
On cherche les racines de \(5x^2 - 8 = 0 \implies 5x^2 = 8 \implies x^2 = \frac{8}{5}\).
La seule racine positive (donc dans \(I\)) est \(x_0 = \sqrt{\frac{8}{5}}\).
Le polynôme \(5x^2 - 8\) a un coefficient \(a=5 > 0\), il est donc négatif entre ses racines (\(x_0\) et \(-x_0\)) et positif à l'extérieur.

On en déduit que :

3. Dresser le tableau de variation :
On calcule les images aux points clés :

Note : La fonction n'est pas dérivable en 0 (la courbe admet une tangente verticale), c'est pourquoi la double barre est utilisée pour k'(x) à x=0.