Taux d'accroissement et calculs de dérivées

1. Taux de variation :

$\tau(h) = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

$f(1+h) = (1+h)^2 + 2(1+h) = (1 + 2h + h^2) + (2 + 2h) = h^2 + 4h + 3$

$f(1) = (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

$\tau(h) = \frac{(h^2 + 4h + 3) - 3}{h} = \frac{h^2 + 4h}{h}$

$\tau(h) = \frac{h(h + 4)}{h} = $ $h + 4$.

2. Étude de la dérivabilité en $a=1$ :

La fonction $f$ est dérivable en $a=1$ si la limite du taux de variation $\tau(h)$ est un nombre réel fini quand $h$ tend vers 0.

On calcule la limite :

$\lim_{h \to 0} \tau(h) = \lim_{h \to 0} (h + 4) = 4$

Comme la limite est un nombre réel fini (elle vaut 4), la fonction $f$ est bien dérivable en $a=1$.

Le nombre dérivé est la valeur de cette limite : $f'(1) = 4$.

1. Taux de variation :

$\tau(h) = \frac{g(2+h) - g(2)}{h}$

$g(2+h) = \frac{1}{(2+h)+2} = \frac{1}{4+h}$

$g(2) = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

$\tau(h) = \frac{\frac{1}{4+h} - \frac{1}{4}}{h}$

On met au même dénominateur le numérateur :

$\frac{1}{4+h} - \frac{1}{4} = \frac{4 - (4+h)}{4(4+h)} = \frac{-h}{4(4+h)}$

On divise par $h$ :

$\tau(h) = \frac{-h}{4(4+h)} \times \frac{1}{h} = $ $\frac{-1}{4(4+h)}$.

2. Nombre dérivé :

$g'(2) = \lim_{h \to 0} \tau(h) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{4(4+h)} = $ $-\frac{1}{16}$.

1. $f(x)$ (Polynôme) :

On dérive terme à terme :

$f'(x) = 15x^2 - 8x + 7$

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2. $g(x)$ (Produit $uv$) :

On pose $u(x) = 2x+1$ donc $u'(x) = 2$.

On pose $v(x) = x-3$ donc $v'(x) = 1$.

On utilise la formule $g'(x) = u'v + uv'$ :

$g'(x) = 2(x-3) + (2x+1)(1)$

$g'(x) = 2x - 6 + 2x + 1$

$g'(x) = 4x - 5$

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3. $h(x)$ (Quotient $\frac{u}{v}$) :

On pose $u(x) = 2x-3$ donc $u'(x) = 2$.

On pose $v(x) = x+4$ donc $v'(x) = 1$.

On utilise la formule $h'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ :

$h'(x) = \frac{2(x+4) - (2x-3)(1)}{(x+4)^2}$

$h'(x) = \frac{2x + 8 - 2x + 3}{(x+4)^2}$

$h'(x) = \frac{11}{(x+4)^2}$

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4. $k(x)$ (Racine carrée) :

On utilise la formule $(k \times u)' = k \times u'$ avec $k=5$ et $u(x)=\sqrt{x}$.

La dérivée de $\sqrt{x}$ est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$k'(x) = 5 \times \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$k'(x) = \frac{5}{2\sqrt{x}}$

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5. $m(x)$ (Produit $uv$) :

On pose $u(x) = 3x-1$ donc $u'(x) = 3$.

On pose $v(x) = \sqrt{x}$ donc $v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

On utilise la formule $m'(x) = u'v + uv'$ :

$m'(x) = 3(\sqrt{x}) + (3x-1)(\frac{1}{2\sqrt{x}})$

On met au même dénominateur ($2\sqrt{x}$) :

$m'(x) = \frac{3\sqrt{x} \times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{3x-1}{2\sqrt{x}}$

$m'(x) = \frac{6x + 3x - 1}{2\sqrt{x}}$

$m'(x) = \frac{9x - 1}{2\sqrt{x}}$

La formule de dérivation d'une fonction composée de la forme $u(ax+b)$ est :

[ $u(ax+b)$ ]$'$ = $a \times u'(ax+b)$

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1. $f(x) = (3x - 5)^4$ :

On pose $u(X) = X^4$ avec $X = 3x - 5$.

On a $a=3$ et $u'(X) = 4X^3$.

$f'(x) = a \times u'(ax+b) = 3 \times 4(3x - 5)^3$

$f'(x) = 12(3x - 5)^3$.

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2. $g(x) = \sqrt{-2x + 7}$ :

On pose $u(X) = \sqrt{X}$ avec $X = -2x + 7$.

On a $a=-2$ et $u'(X) = \frac{1}{2\sqrt{X}}$.

$g'(x) = a \times u'(ax+b) = -2 \times \frac{1}{2\sqrt{-2x + 7}}$

$g'(x) = \frac{-1}{\sqrt{-2x + 7}}$.

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3. $h(x) = \frac{1}{5x - 1}$ :

On pose $u(X) = \frac{1}{X}$ avec $X = 5x - 1$.

On a $a=5$ et $u'(X) = -\frac{1}{X^2}$.

$h'(x) = a \times u'(ax+b) = 5 \times \left( -\frac{1}{(5x - 1)^2} \right)$

$h'(x) = -\frac{5}{(5x - 1)^2}$.