Taux d'accroissement et calculs de dérivées

1. Taux de variation :

$\tau(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}$

$f(1+h) = (1+h)^2 + 2(1+h) = (1 + 2h + h^2) + (2 + 2h) = h^2 + 4h + 3$

$f(1) = (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

$\tau(h) = \dfrac{(h^2 + 4h + 3) - 3}{h} = \dfrac{h^2 + 4h}{h}$

$\tau(h) = \dfrac{h(h + 4)}{h} = $ $h + 4$.

2. Étude de la dérivabilité en $a=1$ :

La fonction $f$ est dérivable en $a=1$ si la limite du taux de variation $\tau(h)$ est un nombre réel fini quand $h$ tend vers $0 \text{.}$

On calcule la limite : $\lim\limits_{h \to 0} \tau(h) = \lim\limits_{h \to 0} (h + 4) = 4 \text{.}$

Comme la limite est un nombre réel fini, la fonction $f$ est bien dérivable en $a=1$.

Le nombre dérivé est : $f'(1) = 4$.

1. Taux de variation :

$\tau(h) = \dfrac{g(2+h) - g(2)}{h}$

$g(2+h) = \dfrac{1}{(2+h)+2} = \dfrac{1}{4+h}$ et $g(2) = \dfrac{1}{2+2} = \dfrac{1}{4} \text{.}$

$\tau(h) = \dfrac{\dfrac{1}{4+h} - \dfrac{1}{4}}{h} = \dfrac{\dfrac{4 - (4+h)}{4(4+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{-h}{4(4+h)}}{h}$

$\tau(h) = \dfrac{-h}{4(4+h)} \times \dfrac{1}{h} = $ $\dfrac{-1}{4(4+h)}$.

2. Nombre dérivé :

$g'(2) = \lim\limits_{h \to 0} \tau(h) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-1}{4(4+h)} = $ $-\dfrac{1}{16}$.

1. $f'(x)$ : $f'(x) = 15x^2 - 8x + 7$

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2. $g'(x) = u'v + uv'$ :

$u(x) = 2x+1 \text{ donc } u'(x) = 2$ ; $v(x) = x-3 \text{ donc } v'(x) = 1 \text{.}$

$g'(x) = 2(x-3) + (2x+1)(1) = 2x - 6 + 2x + 1 = $ $4x - 5$

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3. $h'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ :

$u(x) = 2x-3 \text{ donc } u'(x) = 2$ ; $v(x) = x+4 \text{ donc } v'(x) = 1 \text{.}$

$h'(x) = \dfrac{2(x+4) - (2x-3)(1)}{(x+4)^2} = \dfrac{2x + 8 - 2x + 3}{(x+4)^2} = $ $\dfrac{11}{(x+4)^2}$

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4. $k'(x)$ : $k'(x) = 5 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{5}{2\sqrt{x}}$

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5. $m'(x) = u'v + uv'$ :

$u(x) = 3x-1 \text{ donc } u'(x) = 3$ ; $v(x) = \sqrt{x} \text{ donc } v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \text{.}$

$m'(x) = 3\sqrt{x} + \dfrac{3x-1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3\sqrt{x} \times 2\sqrt{x} + 3x - 1}{2\sqrt{x}} = $ $\dfrac{9x - 1}{2\sqrt{x}}$

1. $f'(x)$ : $a=3$ et $u(X) = X^4 \text{ donc } u'(X) = 4X^3 \text{.}$

$f'(x) = 3 \times 4(3x - 5)^3 = $ $12(3x - 5)^3$.

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2. $g'(x)$ : $a=-2$ et $u(X) = \sqrt{X} \text{ donc } u'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}} \text{.}$

$g'(x) = -2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{-2x + 7}} = $ $\dfrac{-1}{\sqrt{-2x + 7}}$.

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3. $h'(x)$ : $a=5$ et $u(X) = \dfrac{1}{X} \text{ donc } u'(X) = -\dfrac{1}{X^2} \text{.}$

$h'(x) = 5 \times \left( -\dfrac{1}{(5x - 1)^2} \right) = $ $-\dfrac{5}{(5x - 1)^2}$.