Nombre dérivé et tangente

1. Par lecture graphique, le point A de la courbe $C_f$ d'abscisse 2 a pour ordonnée -2. $f(2) = -2$.

2. $f'(2)$ est le nombre dérivé en 2, il est égal au coefficient directeur de la tangente (AB) au point A.

On lit les coordonnées des points A et B : $A(2; -2)$ et $B(0; -5)$.

$f'(2) = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-5 - (-2)}{0 - 2} = \frac{-3}{-2} = $ $\frac{3}{2}$.

1. Nombres dérivés :

$f'(-5) = \frac{+2}{+1.5} = $ $\frac{4}{3}$.

$f'(-4) = $ 0 (tangente horizontale).

$f'(-2) = \frac{-3}{+0.5} = $ -6.

$f'(4) = \frac{-1.5}{+2} = $ $-\frac{3}{4}$.

2. Équations de tangentes : On utilise la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Tangente au point d'abscisse 4 :

On lit $f'(4) = -3/4$ et $f(4) = -1.5$.

$y = -\frac{3}{4}(x - 4) - 1.5$

$y = -\frac{3}{4}x + 3 - 1.5$

$y = -0.75x + 1.5$

Tangente au point d'abscisse -2 :

On lit $f'(-2) = -6$ et $f(-2) = 0.5$.

$y = -6(x - (-2)) + 0.5$

$y = -6(x + 2) + 0.5$

$y = -6x - 12 + 0.5$

$y = -6x - 11.5$

1. Équation de la tangente $(t)$ :

On utilise la formule $y = f'(1)(x-1) + f(1)$.

On a $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 2$. On vérifie que $f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 1 - 2 = 1+3-1-2 = 1$.

On dérive $f$ : $f'(x) = 3x^2 + 6x - 1$.

On calcule le nombre dérivé en 1 : $f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$.

L'équation est : $y = 8(x - 1) + 1 \implies y = 8x - 8 + 1$.

$y = 8x - 7$.

2. Tracé : Pour tracer $(t)$, on utilise le point $A(1; 1)$ et un autre point, par exemple si $x=1.5$, $y = 8(1.5) - 7 = 12 - 7 = 5$. La droite passe par $A(1;1)$ et $B(1.5; 5)$.

3. Tangente parallèle :

Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On cherche donc s'il existe un autre $x$ tel que $f'(x) = 8$.

$3x^2 + 6x - 1 = 8$

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

On divise par 3 : $x^2 + 2x - 3 = 0$.

On calcule $\Delta = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$. $\sqrt{\Delta} = 4$.

$x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$ et $x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$ (qui est le point A).

Oui, il existe une autre tangente parallèle, au point d'abscisse $x = -3$.