Suites arithmético-géométriques

1. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique :

Calculons les premiers termes de $(v_n)$ :

$v_0 = u_0 + 3 = 1 + 3 = 4$

$u_1 = 2u_0 + 3 = 2(1) + 3 = 5$

$v_1 = u_1 + 3 = 5 + 3 = 8$

On conjecture une raison $q = \frac{v_1}{v_0} = \frac{8}{4} = 2$.

Démontrons que $v_{n+1} - 2v_n = 0$ pour tout $n$ :

$v_{n+1} - 2v_n = (u_{n+1} + 3) - 2(u_n + 3)$

$v_{n+1} - 2v_n = (2u_n + 3 + 3) - 2u_n - 6$

$v_{n+1} - 2v_n = (2u_n + 6) - 2u_n - 6 = 0$

Puisque $v_{n+1} - 2v_n = 0$, on a $v_{n+1} = 2v_n$.

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $v_0 = 4$.

2. Expression de $v_n$ :

$(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=2$.

La formule explicite est $v_n = v_0 \times q^n$.

$v_n = 4 \times 2^n$ (ou $2^2 \times 2^n = 2^{n+2}$)

3. Expression de $u_n$ :

On sait que $v_n = u_n + 3$, donc $u_n = v_n - 3$.

On remplace $v_n$ par son expression :

$u_n = 4 \times 2^n - 3$

4. Calcul de $u_8$ :

$u_8 = 4 \times 2^8 - 3 = 4 \times 256 - 3$

$u_8 = 1024 - 3 = $ 1021

1. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique :

Calculons les premiers termes de $(v_n)$ :

$v_0 = u_0 - 8 = 10 - 8 = 2$

$u_1 = \frac{1}{2} u_0 + 4 = \frac{1}{2}(10) + 4 = 5 + 4 = 9$

$v_1 = u_1 - 8 = 9 - 8 = 1$

On conjecture une raison $q = \frac{v_1}{v_0} = \frac{1}{2}$.

Démontrons que $v_{n+1} - \frac{1}{2} v_n = 0$ pour tout $n$ :

$v_{n+1} - \frac{1}{2} v_n = (u_{n+1} - 8) - \frac{1}{2}(u_n - 8)$

$v_{n+1} - \frac{1}{2} v_n = (\frac{1}{2} u_n + 4 - 8) - \frac{1}{2} u_n + 4$

$v_{n+1} - \frac{1}{2} v_n = (\frac{1}{2} u_n - 4) - \frac{1}{2} u_n + 4 = 0$

Puisque $v_{n+1} - \frac{1}{2} v_n = 0$, on a $v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n$.

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = 2$.

2. Expression de $v_n$ :

$(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=2$ et de raison $q=\frac{1}{2}$.

La formule explicite est $v_n = v_0 \times q^n$.

$v_n = 2 \times (\frac{1}{2})^n$

3. Expression de $u_n$ :

On sait que $v_n = u_n - 8$, donc $u_n = v_n + 8$.

On remplace $v_n$ par son expression :

$u_n = 2 \times (\frac{1}{2})^n + 8$

4. Calcul de $u_{10}$ :

$u_{10} = 2 \times (\frac{1}{2})^{10} + 8$

$u_{10} = 2 \times (\frac{1}{1024}) + 8 = \frac{1}{512} + 8$

$u_{10} \approx 0.001953 + 8 \approx $ 8.002

1. Calcul de $p_2$ et $p_3$:

Réduire de 10% revient à multiplier par $1 - 0.10 = 0.9$.

$p_2 = p_1 \times 0.9 + 5 = 20 \times 0.9 + 5 = 18 + 5 = $ 23 €.

$p_3 = p_2 \times 0.9 + 5 = 23 \times 0.9 + 5 = 20.7 + 5 = $ 25.70 €.

2. Relation de récurrence :

Le prix du $n$-ième jour est $p_n$. Le prix du jour suivant ($p_{n+1}$) est le prix du jour $n$ réduit de 10% ($p_n \times 0.9$), auquel on ajoute 5 €.

On a donc bien $p_{n+1} = 0.9 p_n + 5$.

3. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique :

Calculons les premiers termes de $(v_n)$ (définie pour $n \ge 1$) :

$v_1 = p_1 - 50 = 20 - 50 = -30$

$v_2 = p_2 - 50 = 23 - 50 = -27$

On conjecture une raison $q = \frac{v_2}{v_1} = \frac{-27}{-30} = 0.9$.

Démontrons que $v_{n+1} - 0.9 v_n = 0$ pour tout $n \ge 1$ :

$v_{n+1} - 0.9 v_n = (p_{n+1} - 50) - 0.9(p_n - 50)$

$v_{n+1} - 0.9 v_n = (0.9 p_n + 5 - 50) - 0.9 p_n + 45$

$v_{n+1} - 0.9 v_n = (0.9 p_n - 45) - 0.9 p_n + 45 = 0$

Puisque $v_{n+1} - 0.9 v_n = 0$, on a $v_{n+1} = 0.9 v_n$.

$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 0.9$ et de premier terme $v_1 = -30$.

4. Expression de $p_n$ :

La formule explicite pour $n \ge 1$ est $v_n = v_1 \times q^{n-1}$.

$v_n = -30 \times (0.9)^{n-1}$.

On en déduit $p_n$ : $p_n = v_n + 50$.

$p_n = -30 \times (0.9)^{n-1} + 50$.

5. Prix du 15ème jour :

On calcule $p_{15}$ :

$p_{15} = -30 \times (0.9)^{15-1} + 50$

$p_{15} = -30 \times (0.9)^{14} + 50$

$p_{15} \approx -30 \times (0.2287) + 50 \approx -6.86 + 50 \approx 43.14$

Le prix du 15ème jour est d'environ 43.14 €.

1. Calcul de $P_1$ et $P_2$:

Augmenter de 20% revient à multiplier par $1.2$.

$P_1 = P_0 \times 1.2 - 1500 = 5000 \times 1.2 - 1500 = 6000 - 1500 = $ 4500.

$P_2 = P_1 \times 1.2 - 1500 = 4500 \times 1.2 - 1500 = 5400 - 1500 = $ 3900.

2. Relation de récurrence :

La population $P_n$ est augmentée de 20% (donc multipliée par $1.2$), puis on retire 1500 poissons.

On a donc bien $P_{n+1} = 1.2 P_n - 1500$.

3. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique :

Calculons les premiers termes de $(v_n)$ :

$v_0 = P_0 - 7500 = 5000 - 7500 = -2500$

$v_1 = P_1 - 7500 = 4500 - 7500 = -3000$

On conjecture une raison $q = \frac{v_1}{v_0} = \frac{-3000}{-2500} = \frac{30}{25} = 1.2$.

Démontrons que $v_{n+1} - 1.2 v_n = 0$ pour tout $n$ :

$v_{n+1} - 1.2 v_n = (P_{n+1} - 7500) - 1.2(P_n - 7500)$

$v_{n+1} - 1.2 v_n = (1.2 P_n - 1500 - 7500) - 1.2 P_n + 9000$

$v_{n+1} - 1.2 v_n = (1.2 P_n - 9000) - 1.2 P_n + 9000 = 0$

Puisque $v_{n+1} - 1.2 v_n = 0$, on a $v_{n+1} = 1.2 v_n$.

$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 1.2$ et de premier terme $v_0 = -2500$.

4. Expression de $P_n$ :

La formule explicite est $v_n = v_0 \times q^n$.

$v_n = -2500 \times (1.2)^n$.

On en déduit $P_n$ : $P_n = v_n + 7500$.

$P_n = 7500 - 2500 \times (1.2)^n$.

5. Population en 2035 (n=10) :

On calcule $P_{10}$ :

$P_{10} = 7500 - 2500 \times (1.2)^{10}$

À l'aide de la calculatrice, $(1.2)^{10} \approx 6.1917$

$P_{10} \approx 7500 - 2500 \times 6.1917 \approx 7500 - 15479.3$

$P_{10} \approx -7979.3$

Le modèle mathématique donne un résultat négatif, ce qui est impossible. Cela signifie que la population de poissons s'est éteinte (est tombée à 0) bien avant la 10ème année.

En 2035 (n=10), la population sera de 0.