Suites géométriques

1. Suite $(u_n)$:

La suite est définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = 3u_n$. C'est la définition même d'une suite géométrique de la forme $u_{n+1} = q \times u_n$.

$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $u_0 = 2$.

2. Suite $(v_n)$:

On calcule les premiers termes :

$v_0 = 5 \times (\frac{1}{2})^0 = 5 \times 1 = 5$

$v_1 = 5 \times (\frac{1}{2})^1 = \frac{5}{2}$

On calcule le quotient $\frac{v_1}{v_0} = \frac{5/2}{5} = \frac{1}{2}$. On conjecture que la suite est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$.

Démontrons-le en calculant $v_{n+1} - q \times v_n$ :

$v_{n+1} - \frac{1}{2}v_n = \left( 5 \times (\frac{1}{2})^{n+1} \right) - \frac{1}{2} \times \left( 5 \times (\frac{1}{2})^n \right)$

$= 5 \times (\frac{1}{2})^{n+1} - 5 \times \left( \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^n \right)$

$= 5 \times (\frac{1}{2})^{n+1} - 5 \times (\frac{1}{2})^{n+1}$

$= 0$

Comme $v_{n+1} - \frac{1}{2}v_n = 0$, on a $v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n$. La suite est bien géométrique.

$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = 5$.

3. Suite $(w_n)$: On calcule les premiers termes (à partir de $n=1$).

$w_1 = 3(1)^2 = 3$

$w_2 = 3(2)^2 = 12$

$w_3 = 3(3)^2 = 27$

On calcule les rapports : $\frac{w_2}{w_1} = \frac{12}{3} = 4$.

$\frac{w_3}{w_2} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$.

Les rapports ne sont pas constants.

$(w_n)$ n'est pas une suite géométrique.

4. Suite $(z_n)$: On calcule les premiers termes :

$z_0 = 10$

$z_1 = z_0 - 4 = 6$

$z_2 = z_1 - 4 = 2$

On calcule les rapports des termes consécutifs :

$\frac{z_1}{z_0} = \frac{6}{10} = 0.6$

$\frac{z_2}{z_1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Comme $0.6 \neq \frac{1}{3}$, les rapports ne sont pas constants.

$(z_n)$ n'est pas une suite géométrique.

1. Terme général : La formule est $u_n = u_0 \times q^n$.

$u_n = 3 \times 2^n$

2. Calcul de $u_{10}$:

$u_{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = $ 3072.

3. Sens de variation :

On étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.

D'après la question 1, $u_n = 3 \times 2^n$.

Donc, $u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1}$.

$u_{n+1} - u_n = (3 \times 2^{n+1}) - (3 \times 2^n)$

On factorise par $3 \times 2^n$ :

$u_{n+1} - u_n = (3 \times 2^n) \times (2 - 1) = 3 \times 2^n$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $2^n > 0$, donc $3 \times 2^n > 0$.

Comme $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

4. Résolutions :

a) $u_n = 768 \iff 3 \times 2^n = 768 \iff 2^n = \frac{768}{3} \iff 2^n = 256$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve $2^8 = 256$. Le rang est $n=8$.

b) $u_n > 1000 \iff 3 \times 2^n > 1000 \iff 2^n > \frac{1000}{3} \approx 333.33...$

On cherche la puissance de 2 : $2^8 = 256$ (insuffisant), $2^9 = 512$ (suffisant).

La suite est supérieure à 1000 à partir du rang $n=9$.

5. Somme des termes :

a) $S_n = u_0 + ... + u_n$ est la somme de $(n+1)$ termes. $q \neq 1$.

$S_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 3 \times \frac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2}$

$S_n = 3 \times \frac{1 - 2^{n+1}}{-1} = -3(1 - 2^{n+1}) = $ $3(2^{n+1} - 1)$

b) $S_{10}$ est la somme de $n+1 = 11$ termes (de $u_0$ à $u_{10}$).

$S_{10} = 3(2^{10+1} - 1) = 3(2^{11} - 1) = 3(2048 - 1) = 3 \times 2047 = $ 6141.

1. Détermination de la raison $q$:

On utilise la formule $u_p = u_k \times q^{p-k}$.

Pour $p=6$ et $k=3$ : $u_{6} = u_3 \times q^{6-3}$

$320 = 40 \times q^3$

$q^3 = \frac{320}{40} = 8$

$q = 2$

2. Terme général $u_n$:

On utilise la formule $u_n = u_k \times q^{n-k}$.

En partant de $u_3$ : $u_n = u_3 \times q^{n-3}$

$u_n = 40 \times 2^{n-3}$

$u_n = (5 \times 8) \times \frac{2^n}{2^3} = (5 \times 2^3) \times \frac{2^n}{2^3}$

$u_n = 5 \times 2^n$

(Vérification : $u_3 = 5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40$. C'est correct.)

1. Calcul de $C_1$ et $C_2$:

Ajouter 4% revient à multiplier par $1 + \frac{4}{100} = 1.04$.

$C_1 = C_0 \times 1.04 = 5000 \times 1.04 = $ 5200 €.

$C_2 = C_1 \times 1.04 = 5200 \times 1.04 = $ 5408 €.

2. Nature et terme général :

a) Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par la même constante (le coefficient multiplicateur 1.04).

La suite $(C_n)$ est géométrique de raison $q = 1.04$.

b) Le terme général est $C_n = C_0 \times q^n$.

$C_n = 5000 \times (1.04)^n$.

3. Capital doublé :

Le double du capital initial est $2 \times 5000 = 10000$ €.

On cherche $n$ tel que $C_n \ge 10000$ :

$5000 \times (1.04)^n \ge 10000 \iff (1.04)^n \ge 2$

À l'aide de la calculatrice :

$n=17 \implies (1.04)^{17} \approx 1.947$ (insuffisant)

$n=18 \implies (1.04)^{18} \approx 2.025$ (suffisant)

Le capital aura doublé à partir de la 18ème année.

1. Identification de la suite :

On pose $u_0 = 3$.

On calcule le rapport entre les premiers termes : $\frac{6}{3} = 2$ ; $\frac{12}{6} = 2$.

Les termes sont multipliés par une constante. Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$.

2. Nombre de termes :

On doit trouver le rang $n$ du dernier terme, $1536$. On pose $u_n = 1536$.

On utilise la formule du terme général $u_n = u_0 \times q^n$ :

$1536 = 3 \times 2^n$

$2^n = \frac{1536}{3} = 512$

Comme $2^9 = 512$, $n = 9$.

La somme va de $u_0$ à $u_{9}$. Il y a donc $n+1 = 9+1 = 10$ termes.

La somme contient 10 termes.

3. Calcul de la somme :

On utilise la formule $S = u_0 \times \frac{1 - q^{\text{Nombre de termes}}}{1 - q}$.

$S = 3 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2}$

$S = 3 \times \frac{1 - 1024}{-1} = -3(-1023) = 3069$

$S = 3069$