Suites géométriques

\( 1. \) Suite \( (u_n) \):

La suite est définie par la relation de récurrence \( u_{n+1} = 3u_n \). C'est la définition même d'une suite géométrique de la forme \( u_{n+1} = q \times u_n \).

\( (u_n) \) est une suite géométrique de raison \( q = 3 \) et de premier terme \( u_0 = 2 \).

\( 2. \) Suite \( (v_n) \):

On calcule les premiers termes :

\( v_0 = 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 5 \times 1 = 5 \)

\( v_1 = 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = \dfrac{5}{2} \)

On calcule le quotient \( \dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{5/2}{5} = \dfrac{1}{2} \). On conjecture que la suite est géométrique de raison \( q = \dfrac{1}{2} \).

Démontrons-le en calculant \( v_{n+1} - q \times v_n \) :

\( v_{n+1} - \dfrac{1}{2}v_n = \left( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \right) - \dfrac{1}{2} \times \left( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \right) \)

\( = 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 5 \times \left( \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \right) = 0 \)

Comme \( v_{n+1} - \dfrac{1}{2}v_n = 0 \), on a \( v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n \). La suite est bien géométrique.

\( (v_n) \) est une suite géométrique de raison \( q = \dfrac{1}{2} \) et de premier terme \( v_0 = 5 \).

\( 3. \) Suite \( (w_n) \): On calcule les rapports : \( \dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{12}{3} = 4 \) et \( \dfrac{w_3}{w_2} = \dfrac{27}{12} = \dfrac{9}{4} \).

Les rapports ne sont pas constants. \( (w_n) \) n'est pas une suite géométrique.

\( 4. \) Suite \( (z_n) \): \( \dfrac{z_1}{z_0} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \) et \( \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).

Les rapports ne sont pas constants. \( (z_n) \) n'est pas une suite géométrique.

\( 1. \) Terme général : \( u_n = 3 \times 2^n \)

\( 2. \) Calcul : \( u_{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = \) \( 3072 \).

\( 3. \) Sens de variation : \( u_{n+1} - u_n = 3 \times 2^n > 0 \). La suite est strictement croissante.

\( 4. \) Résolutions :
a) \( 3 \times 2^n = 768 \iff 2^n = 256 \). Comme \( 2^8 = 256 \), \( n = 8 \).
b) \( 3 \times 2^n > 1000 \iff 2^n > 333{,}3 \). Comme \( 2^9 = 512 \), à partir de \( n = 9 \).

\( 5. \) Somme :
a) \( S_n = 3 \times \dfrac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2} = \) \( 3(2^{n+1} - 1) \).
b) \( S_{10} = 3(2^{11} - 1) = 3(2048 - 1) = \) \( 6141 \).

\( 1. \) Raison : \( u_6 = u_3 \times q^3 \iff 320 = 40 \times q^3 \iff q^3 = 8 \iff \) \( q = 2 \).

\( 2. \) Terme général : \( u_n = u_3 \times 2^{n-3} = 40 \times \dfrac{2^n}{8} = \) \( u_n = 5 \times 2^n \).

\( 1. \) Calculs : multiplier par \( 1{,}04 \). \( C_1 = 5\,200 \) € ; \( C_2 = 5\,408 \) €.

\( 2. \) Suite : Suite géométrique de raison \( q = 1{,}04 \). \( C_n = 5\,000 \times (1{,}04)^n \).

\( 3. \) Doublement : \( 5\,000 \times (1{,}04)^n \ge 10\,000 \iff (1{,}04)^n \ge 2 \). À la calculatrice, \( (1{,}04)^{17} \approx 1{,}95 \) et \( (1{,}04)^{18} \approx 2{,}03 \). À partir de la \( 18 \)-ème année.

\( 1. \) Identification : Suite géométrique de premier terme \( u_0 = 3 \) et de raison \( q = 2 \).

\( 2. \) Nombre de termes : \( 1536 = 3 \times 2^n \iff 2^n = 512 \iff n = 9 \). Il y a \( 9+1 = \) \( 10 \) termes.

\( 3. \) Somme : \( S = 3 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = -3(-1023) = \) \( 3069 \).