Suites arithmétiques
Exercice \( 1 \) : Reconnaissance
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques. Pour les suites arithmétiques, préciser la raison.
\( 1. \) \( \begin{cases}u_{0}=-1\\ \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}+7\end{cases} \)
\( 2. \) Pour tout entier naturel n, \( v_{n}=5-2n \)
\( 3. \) Pour tout entier naturel n, \( w_{n}=n^2+1 \)
\( 4. \) \( z_{0}=3 \) et, pour tout entier naturel n, \( z_{n+1}=-z_{n}+3 \)
Exercice \( 2 \) : Étude d'une suite arithmétique
Soit \( u \) une suite arithmétique de premier terme \( u_{0}=8 \) et de raison \( r = 2 \).
\( 1. \) Exprimer \( u_{n} \) en fonction de \( n \).
\( 2. \) Calculer \( u_{20} \).
\( 3. \) Quel est le sens de variation de cette suite ?
\( 4. \) a) Résoudre dans \( \mathbb{N} \) l'équation \( u_{n}=50 \).
b) Déterminer le rang \( n \) à partir duquel \( u_{n} > 100 \).
\( 5. \) a) Exprimer la somme \( S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n \) en fonction de \( n \).
b) Calculer la somme \( S_{10} = u_0 + ... + u_{10} \).
Exercice \( 3 \) : Détermination d'une suite
Soit \( (u_{n}) \) une suite arithmétique définie sur \( \mathbb{N} \). On donne \( u_{5}=12 \) et \( u_{13}=4 \).
\( 1. \) Déterminer la raison de \( (u_{n}) \).
\( 2. \) Déterminer l'expression du terme général de \( (u_{n}) \).
Exercice \( 4 \) : Problème (Intérêts simples)
Un capital de \( 10\,000 \) € est placé au taux annuel de \( 3\% \) à intérêts simples. On note \( C_{0} \) le capital initial et \( C_{n} \) celui au bout de n années.
\( 1. \) Calculer \( C_{1} \) et \( C_{2} \).
\( 2. \) a) Quelle est la nature de la suite \( (C_{n}) \)? b) Exprimer \( C_{n} \) en fonction de n.
\( 3. \) À partir de quelle année le capital aura-t-il doublé ?
Exercice \( 5 \) : Calcul d'une somme
On considère la somme suivante : \( S = 7 + 11 + 15 + ... + 87 \)
\( 1. \) Montrer que ce sont les termes d'une suite arithmétique. Préciser \( u_0 \) et \( r \).
\( 2. \) Déterminer le nombre de termes.
\( 3. \) Calculer \( S \).