Exercice 1 : Reconnaissance
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques. Pour les suites arithmétiques, préciser la raison.
1. $\begin{cases}u_{0}=-1\\ \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}+7\end{cases}$
2. Pour tout entier naturel n, $v_{n}=5-2n$
3. Pour tout entier naturel n, $w_{n}=n^2+1$
4. $z_{0}=3$ et, pour tout entier naturel n, $z_{n+1}=-z_{n}+3$
Exercice 2 : Étude d'une suite arithmétique
Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u_{0}=8$ et de raison $r = 2$.
1. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
2. Calculer $u_{20}$.
3. Quel est le sens de variation de cette suite ?
4. a) Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'équation $u_{n}=50$.
b) Par le calcul, déterminer le rang $n$ à partir duquel $u_{n} > 100$.
5. a) Exprimer la somme $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$ en fonction de $n$.
b) Calculer la somme $S_{10} = u_0 + ... + u_{10}$.
Exercice 3 : Détermination d'une suite
Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique définie sur $\mathbb{N}$. On donne $u_{5}=12$ et $u_{13}=4$.
1. Déterminer la raison de $(u_{n})$.
2. Déterminer l'expression du terme général de $(u_{n})$.
Exercice 4 : Problème (Intérêts simples)
Un capital de 10 000 € est placé au taux annuel de 3% à intérêts simples. Cela signifie que, chaque année, les intérêts sont fixes et égaux à 3% du capital initial.
On note $C_{0}$ le capital initial et $C_{n}$ celui disponible au bout de n années.
1. Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$.
2. a) Quelle est la nature de la suite $(C_{n})$?
b) Exprimer $C_{n}$ en fonction de n.
3. À partir de quelle année le capital disponible aura-t-il doublé ?
Exercice 5 : Calcul d'une somme
On considère la somme suivante :
$S = 7 + 11 + 15 + ... + 87$
1. Montrer que les termes de cette somme sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique. Préciser son premier terme $u_0$ et sa raison $r$.
2. Déterminer le nombre de termes dans cette somme.
3. En utilisant la formule de la somme des termes, calculer $S$.