Suites explicites et définies par récurrence : sens de variation et limites

1. Suite $(u_n)$: On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour $n \ge 2$.

$u_{n+1} = (n+1)^2 - 4(n+1) + 3 = (n^2 + 2n + 1) - 4n - 4 + 3 = n^2 - 2n$

$u_{n+1} - u_n = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3$

La suite est définie pour $n \ge 2$.

Pour $n \ge 2$, on a $2n \ge 4$, ce qui implique $2n - 3 \ge 4 - 3 = 1$.

Donc, pour tout $n \ge 2$, $u_{n+1} - u_n > 0$.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante pour tout $n \ge 2$.

2. Suite $(v_n)$: On étudie le signe de $v_{n+1} - v_n$.

$v_{n+1} = \frac{3(n+1)+1}{(n+1)+2} = \frac{3n+4}{n+3}$

$v_{n+1} - v_n = \frac{3n+4}{n+3} - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

Numérateur : $(3n^2 + 6n + 4n + 8) - (3n^2 + 9n + n + 3) = (3n^2 + 10n + 8) - (3n^2 + 10n + 3) = 5$

$v_{n+1} - v_n = \frac{5}{(n+3)(n+2)}$

Pour $n \in \mathbb{N}$, $n+3 > 0$ et $n+2 > 0$, donc le dénominateur est positif. Le numérateur est $5 > 0$.

Comme $v_{n+1} - v_n > 0$, la suite $(v_n)$ est strictement croissante pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3. Suite $(w_n)$: On étudie le signe de $w_{n+1} - w_n$.

$w_{n+1} - w_n = \left( \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} - 5 \right) - \left( \left(\frac{1}{2}\right)^n - 5 \right)$

$= \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} - \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \left( -\frac{1}{2} \right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

Comme $\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} > 0$ pour tout $n$, on a $w_{n+1} - w_n < 0$.

Donc, la suite $(w_n)$ est strictement décroissante.

1. Suite $(u_n)$: (Suite arithmétique)

On calcule $u_{n+1} - u_n$.

$u_{n+1} - u_n = (u_n - 5) - u_n = -5$.

Comme $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

2. Suite $(v_n)$:

On calcule $v_{n+1} - v_n$.

$v_{n+1} - v_n = (v_n + n^2 + 1) - v_n = n^2 + 1$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n^2 \ge 0$, donc $n^2 + 1 \ge 1 > 0$.

Comme $v_{n+1} - v_n > 0$, la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

3. Suite $(w_n)$:

On calcule $w_{n+1} - w_n$.

$w_{n+1} - w_n = (w_n - n^2 + n - 1) - w_n = -n^2 + n - 1$.

On étudie le signe du polynôme $P(n) = -n^2 + n - 1$.

C'est un polynôme du second degré avec $a = -1 < 0$.

On calcule le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3$.

Puisque $\Delta < 0$ et $a < 0$, le polynôme $P(n)$ est toujours strictement négatif, pour tout $n \in \mathbb{R}$, et donc en particulier pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Puisque $w_{n+1} - w_n < 0$ pour tout $n$, la suite $(w_n)$ est strictement décroissante.

1. Suite $(u_n)$:

$u_{10} = \frac{400 - 50}{200 + 1} = \frac{350}{201} \approx 1.74$

$u_{100} = \frac{40000 - 500}{20000 + 1} = \frac{39500}{20001} \approx 1.97$

$u_{1000} = \frac{4000000 - 5000}{2000000 + 1} = \frac{3995000}{2000001} \approx 1.997$

Conjecture : La limite semble être 2.

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2. Suite $(v_n)$:

$v_{10} = 100 - (0.9)^{10} \approx 100 - 0.348 \approx 99.65$

$v_{100} = 100 - (0.9)^{100} \approx 100 - 0.000026 \approx 99.99997$

$v_{1000} = 100 - (0.9)^{1000} \approx 100 - 1.75 \times 10^{-46} \approx 100$

Conjecture : La limite semble être 100.

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3. Suite $(w_n)$:

$w_{10} = 10^3 - 50(10)^2 = 1000 - 5000 = -4000$

$w_{100} = 100^3 - 50(100)^2 = 1000000 - 500000 = 500000$

$w_{1000} = 1000^3 - 50(1000)^2 = 10^9 - 50 \times 10^6 \approx 9.5 \times 10^8$ (très grand)

Conjecture : La limite semble être $+\infty$.

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4. Suite $(z_n)$: (En utilisant le mode "suite" ou "récurrence" de la calculatrice)

$z_{10} \approx 20.029$

$z_{100} \approx 20.000...$

$z_{1000} \approx 20.000...$

La suite semble converger très rapidement.

Conjecture : La limite semble être 20. (C'est la solution de l'équation $L = 0.5L + 10$)