Exercices corrigés 1° spé - Suites explicites et définies par récurrence : calculs de termes

Exercice 1 : Suites explicites (Calcul de termes)

On considère les suites ci-dessous :

1. $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $u_n = 3n^2 - n + 5$

2. $(v_n)$ définie $\forall n \in \mathbb{N}$ par : $v_n = \frac{4n - 1}{n + 3}$

3. $(w_n)$ définie $\forall n \in \mathbb{N}$ par : $w_n = 5n + (-1)^{n+1}$

Calculer :

a) $u_0$, $u_1$ et $u_5$.

b) $v_0$, $v_1$ et $v_7$.

c) $w_0$, $w_1$ et $w_2$.

Exercice 2 : Suites Récurrentes (Calcul de termes)

Calculer les trois premiers termes (de $u_0$ à $u_2$) pour les suites suivantes :

1. $(u_n)$ définie par : $\begin{cases}u_0 = 10 \\ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = -2u_n + 3 \end{cases}$

2. $(v_n)$ définie par : $\begin{cases}v_0 = 1 \\ \forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = 2v_n - n + 1 \end{cases}$

3. $(w_n)$ définie par : $\begin{cases}w_0 = 2 \\ \forall n \in \mathbb{N}, w_{n+1} = \frac{w_n}{w_n + 1} \end{cases}$

Exercice 3 : Suites Explicites (Manipulation d'indices)

1. Suite $(v_n)$ :

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :

$v_n = \frac{3n - 1}{n^2 + 1}$

Exprimer en fonction de $n$ :

a) $v_{n-1}$ (pour $n \ge 1$)

b) $v_{n+2}$

c) $v_{2n}$

2. Suite $(w_n)$ :

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :

$w_n = 2n^2 - 3n + 1$

Exprimer en fonction de $n$ :

d) $w_{n-1}$ (pour $n \ge 1$)

e) $w_{n+1}$

f) $w_{2n}$

g) $w_{2n+1}$

Corrigé de l'Exercice 3

1. Suite Explicite $(v_n)$:

a) Pour $v_{n-1}$ : On remplace $n$ par $(n-1)$ dans la formule.

$v_{n-1} = \frac{3(n-1) - 1}{(n-1)^2 + 1} = \frac{3n - 3 - 1}{n^2 - 2n + 1 + 1} = $ $\frac{3n - 4}{n^2 - 2n + 2}$

b) Pour $v_{n+2}$ : On remplace $n$ par $(n+2)$ dans la formule.

$v_{n+2} = \frac{3(n+2) - 1}{(n+2)^2 + 1} = \frac{3n + 6 - 1}{n^2 + 4n + 4 + 1} = $ $\frac{3n + 5}{n^2 + 4n + 5}$

c) Pour $v_{2n}$ : On remplace $n$ par $(2n)$ dans la formule.

$v_{2n} = \frac{3(2n) - 1}{(2n)^2 + 1} = $ $\frac{6n - 1}{4n^2 + 1}$

2. Suite Explicite $(w_n)$:

d) Pour $w_{n-1}$ : On remplace $n$ par $(n-1)$.

$w_{n-1} = 2(n-1)^2 - 3(n-1) + 1 = 2(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3 + 1 = 2n^2 - 4n + 2 - 3n + 4 = $ $2n^2 - 7n + 6$

e) Pour $w_{n+1}$ : On remplace $n$ par $(n+1)$.

$w_{n+1} = 2(n+1)^2 - 3(n+1) + 1 = 2(n^2 + 2n + 1) - 3n - 3 + 1 = 2n^2 + 4n + 2 - 3n - 2 = $ $2n^2 + n$

f) Pour $w_{2n}$ : On remplace $n$ par $(2n)$.

$w_{2n} = 2(2n)^2 - 3(2n) + 1 = 2(4n^2) - 6n + 1 = $ $8n^2 - 6n + 1$

g) Pour $w_{2n+1}$ : On remplace $n$ par $(2n+1)$.

$w_{2n+1} = 2(2n+1)^2 - 3(2n+1) + 1 = 2(4n^2 + 4n + 1) - 6n - 3 + 1 = 8n^2 + 8n + 2 - 6n - 2 = $ $8n^2 + 2n$

Exercice 4 : Suites Récurrentes (Manipulation d'indices)

1. Suite $(u_n)$ :

On considère la suite $(u_n)$ définie par :

$\begin{cases}u_0 = 5 \\ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 3u_n - 2 \end{cases}$

Exprimer :

a) $u_{n+2}$ en fonction de $u_{n+1}$.

b) $u_{n+2}$ en fonction de $u_n$.

2. Suite $(v_n)$ :

On considère la suite $(v_n)$ définie par :

$\begin{cases}v_0 = -1 \\ \forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = (n+1)v_n + 4 \end{cases}$

Exprimer :

c) $v_n$ en fonction de $v_{n-1}$ (pour $n \ge 1$).

d) $v_{n+2}$ en fonction de $v_n$ et $n$.

Corrigé de l'Exercice 4

1. Suite Récurrente $(u_n)$:

a) Pour $u_{n+2}$ en fonction de $u_{n+1}$ :

La formule de récurrence $u_{k+1} = 3u_k - 2$ est vraie pour tout $k \in \mathbb{N}$.

On la applique en remplaçant $k$ par $(n+1)$ :

$u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2$

b) Pour $u_{n+2}$ en fonction de $u_n$ :

On part du résultat précédent : $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2$.

On remplace $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ (qui est $3u_n - 2$) :

$u_{n+2} = 3(3u_n - 2) - 2 = 9u_n - 6 - 2 = $ $9u_n - 8$

2. Suite Récurrente $(v_n)$:

c) Pour $v_n$ en fonction de $v_{n-1}$ :

La formule de récurrence $v_{k+1} = (k+1)v_k + 4$ est vraie pour tout $k \in \mathbb{N}$.

On la applique en remplaçant $k$ par $(n-1)$ (valable pour $n-1 \ge 0$, donc $n \ge 1$) :

$v_n = ( (n-1)+1 )v_{n-1} + 4 = nv_{n-1} + 4$

d) Pour $v_{n+2}$ en fonction de $v_n$ et $n$:

On part de la formule $v_{k+1} = (k+1)v_k + 4$ et on l'applique pour $k=n+1$ :

$v_{n+2} = ((n+1)+1)v_{n+1} + 4 = (n+2)v_{n+1} + 4$

On remplace $v_{n+1}$ par son expression en fonction de $v_n$ (qui est $(n+1)v_n + 4$) :

$v_{n+2} = (n+2) \left[ (n+1)v_n + 4 \right] + 4$

$v_{n+2} = (n+2)(n+1)v_n + 4(n+2) + 4$

$v_{n+2} = (n+2)(n+1)v_n + 4n + 8 + 4 = $ $(n^2+3n+2)v_n + 4n + 12$

Suites explicites et définies par récurrence : calculs de termes