Exercices concrets sur le second degré

1. Expression du bénéfice :
$B(x) = R(x) - C(x) = 100x - \left( x^2 + 20x + 900 \right)$
$B(x) = 100x - x^2 - 20x - 900 = $ $-x^2 + 80x - 900$.

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2. Forme canonique :
$\alpha = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-80}{2 \times \left( -1 \right)} = 40$.
$\beta = B(40) = -40^2 + 80 \times 40 - 900 = 700$.
donc $B(x) = -\left( x - 40 \right)^2 + 700$.

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3. Tableau de variation :

Le bénéfice maximal est atteint pour $x = 40$ objets et vaut $700$ €.

1. Coûts fixes : $B(0) = -250$. Soit une perte de $250$ $000$ €.

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2. Seuils : $\Delta = 30^2 - 4 \times \left( -0,5 \right) \times \left( -250 \right) = 400$.
$x_1 = \dfrac{-30-20}{-1} = 50$ et $x_2 = \dfrac{-30+20}{-1} = 10$.
Seuils à $10$ $000$ et $50$ $000$ objets.

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3. Tableau de variation :

Le bénéfice maximal est de $200$ $000$ € pour $x=30$.

1. Recette : $R(n) = \left( 10 - 0,5n \right)\left( 400 + 50n \right) = $ $-25n^2 + 300n + 4000$.

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2. Maximisation : $\alpha = \dfrac{-300}{-50} = 6$.
Prix optimal : $P(6) = 10 - 0,5 \times 6 = $ $7,00$ €.

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3. Tableau de variation :

1. Minimum : $a = 0,5 > 0$, donc la parabole est tournée vers le haut.
$\alpha = \dfrac{-(-40)}{1} = 40$. Le minimum est en $x=40$ (soit $4000$ objets).

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2. Coût minimal : $C_m(40) = 0,5 \times 40^2 - 40 \times 40 + 1000 = $ $200$ €.

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3. Tableau de variation :

1. Hauteur max : $\alpha = \dfrac{-1,2}{-0,4} = 3$ et $\beta = h(3) = $ $3,8$ m.

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2. Réussite : $h(5) = -0,2(25) + 1,2(5) + 2 = -5 + 6 + 2 = 3$.
$3 < 3,05$ donc le tir est raté.

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3. Tableau de variation :