Exercices concrets sur le second degré

1. Expression du bénéfice $B(x)$

$B(x) = R(x) - C(x) = 100x - (x^2 + 20x + 900)$

$B(x) = 100x - x^2 - 20x - 900 = $ $-x^2 + 80x - 900$.

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2. Forme canonique de $B(x)$

$B(x) = -(x^2 - 80x) - 900$

$= -((x - 40)^2 - 40^2) - 900$

$= -((x - 40)^2 - 1600) - 900$

$= -(x - 40)^2 + 1600 - 900$

$= $ $-(x - 40)^2 + 700$.

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3. Bénéfice maximal

La forme canonique est $a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $a=-1$, $\alpha=40$ et $\beta=700$.

Comme $a < 0$, la fonction $B(x)$ admet un maximum en $x = \alpha$.

Tableau de variation de $B(x)$ sur $[0, 100]$ :

Le tableau montre clairement que le bénéfice est maximal pour $x = 40$ objets produits. Ce bénéfice maximal est $B(40) = \beta = $ 700 €.

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4. Plage de rentabilité

On cherche $x$ tel que $B(x) > 0$. On résout d'abord $B(x) = 0$ pour trouver les racines (seuils de rentabilité).

On utilise la forme canonique (plus rapide) :
$-(x - 40)^2 + 700 = 0 \implies (x - 40)^2 = 700$

$x - 40 = \sqrt{700}$ ou $x - 40 = -\sqrt{700}$

$x = 40 + \sqrt{700} \approx 40 + 26,46 \approx 66,46$

$x = 40 - \sqrt{700} \approx 40 - 26,46 \approx 13,54$

La parabole $B(x)$ est tournée vers le bas (car $a < 0$), donc elle est positive (rentable) *entre* ses racines.

Comme $x$ est un nombre entier d'objets, l'entreprise est rentable si elle produit entre 14 et 66 objets (inclus).

1. Coûts fixes

Le bénéfice pour $x=0$ est $B(0) = -0,5(0)^2 + 30(0) - 250 = -250$.

Un bénéfice de -250 (milliers d'euros) signifie une perte de 250 000 €. Cette perte à $x=0$ correspond aux coûts fixes de l'entreprise. Les coûts fixes sont de 250 000 €.

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2. Seuils de rentabilité

On résout $B(x) = 0 \implies -0,5x^2 + 30x - 250 = 0$.

On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :
$\Delta = (30)^2 - 4(-0,5)(-250) = 900 - 500 = 400$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{400} = 20$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-30 - 20}{2(-0,5)} = \frac{-50}{-1} = 50$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-30 + 20}{2(-0,5)} = \frac{-10}{-1} = 10$.

Les seuils de rentabilité sont $x=10$ (10 000 objets) et $x=50$ (50 000 objets).

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3. Plage de rentabilité

On cherche $B(x) > 0$. La parabole est tournée vers le bas ($a = -0,5 < 0$). Le bénéfice est donc positif *entre* les racines.

L'entreprise est rentable si elle produit entre 10 000 et 50 000 objets.

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4. Bénéfice maximal

Le sommet $\alpha$ d'une parabole $ax^2+bx+c$ est à $x = -b / 2a$.

$\alpha = \frac{-30}{2(-0,5)} = \frac{-30}{-1} = 30$.

Le bénéfice maximal est atteint pour $x=30$ (30 000 objets). On calcule $B(30)$ :

$B(30) = -0,5(30)^2 + 30(30) - 250 = -0,5(900) + 900 - 250 = -450 + 900 - 250 = 200$.

Le bénéfice maximal est de 200 000 €.

Tableau de variation de $B(x)$ sur $[0, 80]$ :

1. Prix du billet $P(n)$

Le prix initial est 10 €. On applique $n$ baisses de 0,50 €.

$P(n) = 10 - 0,5n$.

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2. Nombre de spectateurs $N(n)$

Le nombre initial est 400. On ajoute $n$ fois 50 spectateurs.

$N(n) = 400 + 50n$.

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3. Chiffre d'affaires $R(n)$

$R(n) = P(n) \times N(n) = (10 - 0,5n)(400 + 50n)$

$R(n) = 10 \times 400 + 10 \times 50n - 0,5n \times 400 - 0,5n \times 50n$

$R(n) = 4000 + 500n - 200n - 25n^2$

$R(n) = $ $-25n^2 + 300n + 4000$.

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4. Prix pour recette maximale

On cherche le sommet de la parabole $R(n) = -25n^2 + 300n + 4000$.

L'abscisse du sommet $\alpha$ est $n = -b / 2a$.

$n = \frac{-300}{2(-25)} = \frac{-300}{-50} = 6$.

Le chiffre d'affaires est maximal pour $n=6$ baisses.

On calcule le prix correspondant :
$P(6) = 10 - 0,5(6) = 10 - 3 = 7$.

Pour maximiser le chiffre d'affaires, il faut fixer le prix du billet à 7,00 €.

Tableau de variation de $R(n)$ sur $[0, 20]$ :

1. Coûts moyens

Pour 1000 objets, $x=10$ :
$C_m(10) = 0,5(10)^2 - 40(10) + 1000 = 0,5(100) - 400 + 1000 = 50 - 400 + 1000 = $ 650 €.

Pour 6000 objets, $x=60$ :
$C_m(60) = 0,5(60)^2 - 40(60) + 1000 = 0,5(3600) - 2400 + 1000 = 1800 - 2400 + 1000 = $ 400 €.

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2. Production pour coût moyen minimal

On cherche le sommet de la parabole $C_m(x) = 0,5x^2 - 40x + 1000$.

Le coefficient $a = 0,5$ est positif, la parabole est tournée vers le haut, elle admet donc un minimum.

L'abscisse du sommet $\alpha$ est $x = -b / 2a$.

$\alpha = \frac{-(-40)}{2(0,5)} = \frac{40}{1} = 40$.

Cette valeur $\alpha=40$ est bien dans l'intervalle d'étude $[5, 60]$.

Le coût moyen est minimal pour $x=40$, c'est-à-dire 4000 objets.

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3. Coût moyen minimal

On calcule $C_m(40)$ :

$C_m(40) = 0,5(40)^2 - 40(40) + 1000 = 0,5(1600) - 1600 + 1000 = 800 - 1600 + 1000 = $ 200 €.

Le coût moyen minimal est de 200 € par objet.

Tableau de variation de $C_m(x)$ sur $[5, 60]$ :

1. Hauteur de lâcher

Le joueur lâche le ballon à $x=0$.

$h(0) = -0,2(0)^2 + 1,2(0) + 2 = 2$.

Le joueur lâche le ballon à 2 mètres de hauteur.

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2. Hauteur maximale (Forme canonique)

$h(x) = -0,2(x^2 - 6x) + 2$

$= -0,2((x - 3)^2 - 3^2) + 2$

$= -0,2((x - 3)^2 - 9) + 2$

$= -0,2(x - 3)^2 + (-0,2)(-9) + 2$

$= -0,2(x - 3)^2 + 1,8 + 2$

$= $ $-0,2(x - 3)^2 + 3,8$.

Le sommet est $(\alpha, \beta) = (3, 3.8)$. La hauteur maximale atteinte est 3,8 mètres (à une distance $x=3$ m).

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3. Le tir est-il réussi ?

On calcule la hauteur du ballon à $x=5$ mètres.

$h(5) = -0,2(5)^2 + 1,2(5) + 2 = -0,2(25) + 6 + 2 = -5 + 6 + 2 = 3$.

À $x=5$ m, le ballon est à 3 m de hauteur. Le panier est à 3,05 m. Non, le tir est trop court (il passe 5 cm sous le panier).

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4. Retombée au sol

On cherche $x \ge 0$ tel que $h(x) = 0$. On résout $-0,2x^2 + 1,2x + 2 = 0$.

On calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ :
$\Delta = (1,2)^2 - 4(-0,2)(2) = 1,44 + 1,6 = 3,04$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{3,04} \approx 1,7436$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1,2 - 1,7436}{2(-0,2)} = \frac{-2,9436}{-0,4} \approx 7,36$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1,2 + 1,7436}{2(-0,2)} = \frac{0,5436}{-0,4} \approx -1,36$.

On garde la solution positive. Le ballon retombe au sol à environ 7,36 mètres du joueur.