Exercice 1 : Inéquation du second degré
Résoudre l'inéquation suivante :
1) \( 2x^2 + 5x - 3 \ge 0 \)
2) \( -x^2 + 6x - 5 > 0 \)
3) \( x^2 + 2x + 1 \le 0 \)
4) \( 3x^2 - x + 1 > 0 \)
5) \( -2x^2 + 7x - 3 < 0 \)
Corrigé de l'Exercice 1
1) Résolution de \( 2x^2 + 5x - 3 \ge 0 \)
On cherche les racines du polynôme \( P(x) = 2x^2 + 5x - 3 \).
Calcul du discriminant : \( \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 \).
\( \Delta > 0 \), il y a deux racines réelles :
\( x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \)
\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
Le polynôme est du signe de \( a = 2 \) (positif) à l'extérieur des racines.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(P(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
On cherche où le polynôme est positif ou nul (\( \ge 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -3] \cup [\frac{1}{2}; +\infty[ \).
2) Résolution de \( -x^2 + 6x - 5 > 0 \)
On cherche les racines de \( P(x) = -x^2 + 6x - 5 \).
\( \Delta = 6^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16 \). \( \sqrt{\Delta} = 4 \).
\( x_1 = \frac{-6 - 4}{-2} = 5 \) et \( x_2 = \frac{-6 + 4}{-2} = 1 \).
Le polynôme est du signe de \( a = -1 \) (négatif) à l'extérieur des racines.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(5\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(P(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le polynôme est strictement positif (\( > 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]1; 5[ \).
3) Résolution de \( x^2 + 2x + 1 \le 0 \)
On reconnaît une identité remarquable : \( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \).
L'inéquation est \( (x+1)^2 \le 0 \).
Un carré est toujours positif ou nul (\( \ge 0 \)).
Le seul cas où \( (x+1)^2 \) n'est pas strictement positif est quand il est nul, c'est-à-dire \( (x+1)^2 = 0 \).
Cela se produit pour \( x = -1 \).
On cherche où le polynôme est négatif ou nul (\( \le 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = \{-1\} \).
4) Résolution de \( 3x^2 - x + 1 > 0 \)
On cherche les racines de \( P(x) = 3x^2 - x + 1 \).
\( \Delta = (-1)^2 - 4(3)(1) = 1 - 12 = -11 \).
\( \Delta < 0 \), le polynôme n'a pas de racine réelle.
Il est donc toujours du signe de \( a = 3 \) (positif) sur \( \mathbb{R} \).
On cherche où le polynôme est strictement positif (\( > 0 \)). Comme il l'est toujours :
L'ensemble des solutions est \( S = \mathbb{R} \) (ou \( ]-\infty; +\infty[ \)).
5) Résolution de \( -2x^2 + 7x - 3 < 0 \)
On cherche les racines de \( P(x) = -2x^2 + 7x - 3 \).
\( \Delta = 7^2 - 4(-2)(-3) = 49 - 24 = 25 \). \( \sqrt{\Delta} = 5 \).
\( x_1 = \frac{-7 - 5}{-4} = 3 \) et \( x_2 = \frac{-7 + 5}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \).
Le polynôme est du signe de \( a = -2 \) (négatif) à l'extérieur des racines.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(P(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le polynôme est strictement négatif (\( < 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; \frac{1}{2}[ \cup ]3; +\infty[ \).
Exercice 2 : Inéquation quotient (avec carré)
Résoudre les inéquations suivantes.
1) \( \frac{x^2-1}{-3x+2} \le 0 \)
2) \( \frac{x^2-7}{(x-5)^2} \ge 0 \)
3) \( \frac{x^2+x+1}{2x-6} \ge 0 \)
4) \( \frac{-x^2+4x-4}{x+1} > 0 \)
5) \( \frac{x^2-4}{2-x} \le 0 \)
Corrigé de l'Exercice 2
1) Résolution de \( \frac{x^2-1}{-3x+2} \le 0 \)
On factorise : \( \frac{(x-1)(x+1)}{-3x+2} \le 0 \)
Racines : \( x=1, x=-1 \), Valeur interdite : \( x = \frac{2}{3} \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(\frac{2}{3}\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x + 1\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x - 1\) | \(-\) | | | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}-3}x + 2\) | \(+\) | | | \(+\) | 0 | \(-\) | | | \(-\) | ||
| Quotient | \(+\) | \(0\) | \(-\) | || | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On cherche où le quotient est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = [-1; \frac{2}{3}[ \cup [1; +\infty[ \).
2) Résolution de \( \frac{x^2-7}{(x-5)^2} \ge 0 \)
On factorise le numérateur : \( \frac{(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})}{(x-5)^2} \ge 0 \)
Racines : \( x=\sqrt{7}, x=-\sqrt{7} \), Valeur interdite : \( x = 5 \)
On ordonne les valeurs : \( -\sqrt{7} \approx -2.65 < \sqrt{7} \approx 2.65 < 5 \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\sqrt{7}\) | \(\sqrt{7}\) | \(5\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x+\sqrt{7}\) | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(x-\sqrt{7}\) | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \((x-5)^2\) | \(+\) | | | \(+\) | | | \(+\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| Quotient | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | || | \(+\) |
On cherche où le quotient est positif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; 5[ \cup ]5; +\infty[ \).
3) Résolution de \( \frac{x^2+x+1}{2x-6} \ge 0 \)
Dénominateur : \( 2x-6 = 0 \implies x = 3 \). C'est la valeur interdite.
Numérateur : On étudie \( x^2+x+1 \). \( \Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 \).
Comme \( \Delta < 0 \) et \( a = 1 > 0 \), le numérateur \( x^2+x+1 \) est toujours strictement positif.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2+x+1\) | \(+\) | | | \(+\) | ||
| \(2x-6\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| Quotient | \(-\) | || | \(+\) |
On cherche où le quotient est positif ou nul (\( \ge 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]3; +\infty[ \).
4) Résolution de \( \frac{-x^2+4x-4}{x+1} > 0 \)
Numérateur : \( -x^2+4x-4 = -(x^2-4x+4) = -(x-2)^2 \).
Le numérateur est un carré négatif. Il s'annule pour \( x=2 \) et est négatif partout ailleurs.
Dénominateur : \( x+1 = 0 \implies x = -1 \). C'est la valeur interdite.
On ordonne les valeurs : \( -1, 2 \)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-(x-2)^2\) | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(-\) | ||
| \(x+1\) | \(-\) | 0 | \(+\) | | | \(+\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(-\) | 0 | \(-\) |
On cherche où le quotient est strictement positif (\( > 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -1[ \).
5) Résolution de \( \frac{x^2-4}{2-x} \le 0 \)
On factorise : \( \frac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)} \le 0 \).
Valeur interdite : \( 2-x = 0 \implies x = 2 \).
Pour \( x \neq 2 \), on peut simplifier : \( \frac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)} = -(x+2) \).
L'inéquation devient \( -(x+2) \le 0 \) avec \( x \neq 2 \).
\( -x - 2 \le 0 \implies -x \le 2 \implies x \ge -2 \).
On doit donc avoir \( x \ge -2 \) ET \( x \neq 2 \).
L'ensemble des solutions est \( S = [-2; 2[ \cup ]2; +\infty[ \).
Exercice 3 : Quotient avec numérateur du second degré
Résoudre l'inéquation suivante :
1) \( \frac{x^2 - 4x + 3}{x + 2} < 0 \)
2) \( \frac{x^2+x-6}{5-x} \ge 0 \)
3) \( \frac{-x^2+2x-1}{x+3} < 0 \)
4) \( \frac{2x^2-3x-2}{1-x} \le 0 \)
5) \( \frac{x^2+3x}{x-5} > 0 \)
Corrigé de l'Exercice 3
1) Résolution de \( \frac{x^2 - 4x + 3}{x + 2} < 0 \)
Valeur interdite (dénominateur) : \( x + 2 = 0 \implies x = -2 \).
Racines (numérateur) : On résout \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
\( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \). \( \sqrt{\Delta} = 2 \).
\( x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \) et \( x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \).
On dresse le tableau de signes avec les valeurs \(-2, 1, 3\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(1\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2 - 4x + 3\) | \(+\) | | | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(x + 2\) | \(-\) | 0 | \(+\) | | | \(+\) | | | \(+\) | ||
| Quotient | \(-\) | || | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
On cherche où le quotient est strictement négatif (\( < 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -2[ \cup ]1; 3[ \).
2) Résolution de \( \frac{x^2+x-6}{5-x} \ge 0 \)
Valeur interdite : \( 5-x = 0 \implies x = 5 \).
Racines (numérateur) : \( x^2+x-6=0 \).
\( \Delta = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). \( \sqrt{\Delta} = 5 \).
\( x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \) et \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \).
On ordonne les valeurs : \(-3, 2, 5\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(2\) | \(5\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2+x-6\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | | | \(+\) | ||
| \(5-x\) | \(+\) | | | \(+\) | | | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| Quotient | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | || | \(-\) |
On cherche où le quotient est positif ou nul (\( \ge 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -3] \cup [2; 5[ \).
3) Résolution de \( \frac{-x^2+2x-1}{x+3} < 0 \)
Valeur interdite : \( x+3 = 0 \implies x = -3 \).
Numérateur : \( -x^2+2x-1 = -(x^2-2x+1) = -(x-1)^2 \).
Le numérateur s'annule en \( x=1 \) et est négatif partout ailleurs.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-(x-1)^2\) | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(-\) | ||
| \(x+3\) | \(-\) | 0 | \(+\) | | | \(+\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(-\) | 0 | \(-\) |
On cherche où le quotient est strictement négatif (\( < 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-3; 1[ \cup ]1; +\infty[ \).
4) Résolution de \( \frac{2x^2-3x-2}{1-x} \le 0 \)
Valeur interdite : \( 1-x = 0 \implies x = 1 \).
Racines (numérateur) : \( 2x^2-3x-2=0 \).
\( \Delta = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \). \( \sqrt{\Delta} = 5 \).
\( x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \) et \( x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \).
On ordonne les valeurs : \(-\frac{1}{2}, 1, 2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2x^2-3x-2\) | \(+\) | 0 | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(1-x\) | \(+\) | | | \(+\) | 0 | \(-\) | | | \(-\) | ||
| Quotient | \(+\) | 0 | \(-\) | || | \(+\) | 0 | \(-\) |
On cherche où le quotient est négatif ou nul (\( \le 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = [-\frac{1}{2}; 1[ \cup [2; +\infty[ \).
5) Résolution de \( \frac{x^2+3x}{x-5} > 0 \)
Valeur interdite : \( x-5 = 0 \implies x = 5 \).
Racines (numérateur) : \( x^2+3x = x(x+3) = 0 \implies x=0 \) ou \( x=-3 \).
On ordonne les valeurs : \(-3, 0, 5\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(0\) | \(5\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2+3x\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | | | \(+\) | ||
| \(x-5\) | \(-\) | | | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| Quotient | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | || | \(+\) |
On cherche où le quotient est strictement positif (\( > 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-3; 0[ \cup ]5; +\infty[ \).
Exercice 4 : Quotient avec dénominateur du second degré
Résoudre l'inéquation suivante :
1) \( \frac{5 - x}{-x^2 + x + 6} \le 0 \)
2) \( \frac{x+1}{x^2-x-2} \ge 0 \)
3) \( \frac{2x-3}{x^2+9} < 0 \)
4) \( \frac{x}{-x^2+4x-3} > 0 \)
5) \( \frac{1}{(x-2)^2-9} \le 0 \)
Corrigé de l'Exercice 4
1) Résolution de \( \frac{5 - x}{-x^2 + x + 6} \le 0 \)
Racine (numérateur) : \( 5 - x = 0 \implies x = 5 \).
Valeurs interdites (dénominateur) : On résout \( -x^2 + x + 6 = 0 \).
\( \Delta = 1^2 - 4(-1)(6) = 1 + 24 = 25 \). \( \sqrt{\Delta} = 5 \).
\( x_1 = \frac{-1 - 5}{-2} = 3 \) et \( x_2 = \frac{-1 + 5}{-2} = -2 \).
On dresse le tableau de signes avec les valeurs \(-2, 3, 5\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(3\) | \(5\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(5 - x\) | \(+\) | | | \(+\) | | | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| \(-x^2 + x + 6\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | | | \(-\) | ||
| Quotient | \(-\) | || | \(+\) | || | \(-\) | 0 | \(+\) |
On cherche où le quotient est négatif ou nul (\( \le 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -2[ \cup ]3; 5] \).
2) Résolution de \( \frac{x+1}{x^2-x-2} \ge 0 \)
Racine (numérateur) : \( x+1 = 0 \implies x = -1 \).
Valeurs interdites (dénominateur) : \( x^2-x-2=0 \).
\( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). \( \sqrt{\Delta} = 3 \).
\( x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) et \( x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).
On remarque que -1 est à la fois racine et valeur interdite.
On peut factoriser : \( \frac{x+1}{(x+1)(x-2)} \ge 0 \).
Les valeurs à étudier sont \(-1\) (valeur interdite) et \(2\) (valeur interdite).
Pour \( x \neq -1 \), on simplifie : \( \frac{1}{x-2} \ge 0 \).
Il suffit d'étudier le signe de \( x-2 \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x-2\) | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| Quotient simplifié | \(-\) | || | \(-\) | || | \(+\) |
On cherche où le quotient est positif ou nul (\( \ge 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]2; +\infty[ \).
3) Résolution de \( \frac{2x-3}{x^2+9} < 0 \)
Racine (numérateur) : \( 2x-3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \).
Dénominateur : \( x^2+9 \). C'est la somme d'un carré (toujours \( \ge 0 \)) et de 9.
Donc \( x^2+9 \) est toujours \( \ge 9 \). Il est toujours strictement positif et ne s'annule jamais (pas de valeur interdite, \( \Delta < 0 \)).
Le signe du quotient est donc le même que le signe du numérateur \( 2x-3 \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{3}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(2x-3\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(x^2+9\) | \(+\) | | | \(+\) | ||
| Quotient | \(-\) | 0 | \(+\) |
On cherche où le quotient est strictement négatif (\( < 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; \frac{3}{2}[ \).
4) Résolution de \( \frac{x}{-x^2+4x-3} > 0 \)
Racine (numérateur) : \( x = 0 \).
Valeurs interdites (dénominateur) : \( -x^2+4x-3=0 \).
\( \Delta = 4^2 - 4(-1)(-3) = 16 - 12 = 4 \). \( \sqrt{\Delta} = 2 \).
\( x_1 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3 \) et \( x_2 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 \).
On ordonne les valeurs : \(0, 1, 3\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(1\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(-\) | 0 | \(+\) | | | \(+\) | | | \(+\) | ||
| \(-x^2+4x-3\) | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| Quotient | \(+\) | 0 | \(-\) | || | \(+\) | || | \(-\) |
On cherche où le quotient est strictement positif (\( > 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; 0[ \cup ]1; 3[ \).
5) Résolution de \( \frac{1}{(x-2)^2-9} \le 0 \)
Numérateur : \( 1 \), il est toujours positif.
Valeurs interdites (dénominateur) : \( (x-2)^2-9 = 0 \).
On factorise (identité remarquable \( a^2-b^2 \)) : \( ((x-2)-3)((x-2)+3) = (x-5)(x+1) = 0 \).
Les valeurs interdites sont \( x = 5 \) et \( x = -1 \).
Le polynôme \( (x-5)(x+1) = x^2-4x-5 \) a \( a=1 > 0 \), il est positif à l'extérieur de ses racines.
Le signe du quotient est le même que celui du dénominateur \( (x-5)(x+1) \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(5\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \((x-2)^2-9\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(-\) | || | \(+\) |
On cherche où le quotient est négatif ou nul (\( \le 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-1; 5[ \).
Exercice 5 : Quotient de deux polynômes du second degré
Résoudre l'inéquation suivante :
1) \( \frac{x^2 - 9}{1 - x^2} > 0 \)
2) \( \frac{x^2+x+1}{x^2-5x+6} > 0 \)
3) \( \frac{x^2-10x+25}{x^2-4x} \le 0 \)
4) \( \frac{2x^2+x-1}{x^2+4x+4} < 0 \)
5) \( \frac{-x^2+1}{x^2+2x-3} \ge 0 \)
Corrigé de l'Exercice 5
1) Résolution de \( \frac{x^2 - 9}{1 - x^2} > 0 \)
On factorise : \( \frac{(x-3)(x+3)}{(1-x)(1+x)} > 0 \).
Racines (numérateur) : \( x^2 - 9 = 0 \implies x = 3 \) ou \( x = -3 \).
Valeurs interdites (dénominateur) : \( 1 - x^2 = 0 \implies x = 1 \) ou \( x = -1 \).
On dresse le tableau de signes avec les valeurs \(-3, -1, 1, 3\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2 - 9\) | \(+\) | 0 | \(-\) | | | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(1 - x^2\) | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | | | \(-\) | ||
| Quotient | \(-\) | 0 | \(+\) | || | \(-\) | || | \(+\) | 0 | \(-\) |
On cherche où le quotient est strictement positif (\( > 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-3; -1[ \cup ]1; 3[ \).
2) Résolution de \( \frac{x^2+x+1}{x^2-5x+6} > 0 \)
Numérateur : \( x^2+x+1 \). \( \Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 \). \( \Delta < 0 \) et \( a=1 > 0 \), donc le numérateur est toujours positif.
Dénominateur : \( x^2-5x+6=0 \). \( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \). \( \sqrt{\Delta} = 1 \).
Valeurs interdites : \( x_1 = \frac{5-1}{2} = 2 \) et \( x_2 = \frac{5+1}{2} = 3 \).
Le dénominateur est positif (\( a=1 \)) à l'extérieur de ses racines.
Le signe du quotient est le même que celui du dénominateur.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2-5x+6\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(-\) | || | \(+\) |
On cherche où le quotient est strictement positif (\( > 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; 2[ \cup ]3; +\infty[ \).
3) Résolution de \( \frac{x^2-10x+25}{x^2-4x} \le 0 \)
Numérateur : \( x^2-10x+25 = (x-5)^2 \). C'est un carré, il est toujours positif ou nul. Il s'annule en \( x=5 \).
Dénominateur : \( x^2-4x = x(x-4) \).
Valeurs interdites : \( x = 0 \) et \( x = 4 \).
On ordonne les valeurs : \(0, 4, 5\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(4\) | \(5\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \((x-5)^2\) | \(+\) | | | \(+\) | | | \(+\) | 0 | \(+\) | ||
| \(x(x-4)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | | | \(+\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(-\) | || | \(+\) | 0 | \(+\) |
On cherche où le quotient est négatif ou nul (\( \le 0 \)).
Négatif sur \( ]0; 4[ \). Nul en \( x=5 \).
L'ensemble des solutions est \( S = ]0; 4[ \cup \{5\} \).
4) Résolution de \( \frac{2x^2+x-1}{x^2+4x+4} < 0 \)
Numérateur : \( 2x^2+x-1=0 \). \( \Delta = 1^2 - 4(2)(-1) = 9 \). \( \sqrt{\Delta} = 3 \).
Racines : \( x_1 = \frac{-1-3}{4} = -1 \) et \( x_2 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2} \).
Dénominateur : \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \). C'est un carré.
Valeur interdite : \( x = -2 \). Le dénominateur est positif partout ailleurs.
On ordonne les valeurs : \(-2, -1, \frac{1}{2}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(-1\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2x^2+x-1\) | \(+\) | | | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \((x+2)^2\) | \(+\) | 0 | \(+\) | | | \(+\) | | | \(+\) | ||
| Quotient | \(+\) | || | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
On cherche où le quotient est strictement négatif (\( < 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-1; \frac{1}{2}[ \).
5) Résolution de \( \frac{-x^2+1}{x^2+2x-3} \ge 0 \)
Numérateur : \( -x^2+1 = 0 \implies x^2=1 \implies x=1 \) ou \( x=-1 \).
Le polynôme a \( a = -1 < 0 \), il est négatif à l'extérieur de ses racines.
Dénominateur : \( x^2+2x-3=0 \). \( \Delta = 2^2 - 4(1)(-3) = 16 \). \( \sqrt{\Delta} = 4 \).
Valeurs interdites : \( x_1 = \frac{-2-4}{2} = -3 \) et \( x_2 = \frac{-2+4}{2} = 1 \).
Le polynôme a \( a = 1 > 0 \), il est positif à l'extérieur de ses racines.
On ordonne les valeurs : \(-3, -1, 1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-x^2+1\) | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| \(x^2+2x-3\) | \(+\) | 0 | \(-\) | | | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| Quotient | \(-\) | || | \(+\) | 0 | \(-\) | || | \(-\) |
On cherche où le quotient est positif ou nul (\( \ge 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = ]-3; -1] \).