Inéquations du second degré et quotients

1) Résolution de \( 2x^2 + 5x - 3 \ge 0 \)

On cherche les racines du trinôme en résolvant \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \).
\( a = 2 \), \( b = 5 \), \( c = -3 \).
\( \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 2 \times \left( -3 \right) = 25 + 24 = 49 \).
\( \Delta > 0 \), il y a donc deux racines réelles :
\( x_1 = \dfrac{-5 - \sqrt{49}}{2 \times 2} = \dfrac{-5 - 7}{4} = -3 \) et \( x_2 = \dfrac{-5 + 7}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \).
Le trinôme est du signe de \( a = 2 \) (positif) à l'extérieur des racines.

L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; -3 \right] \cup \left[ \dfrac{1}{2} ; +\infty \right[ \).

2) Résolution de \( -x^2 + 6x - 5 > 0 \)

\( \Delta = 6^2 - 4 \times \left( -1 \right) \times \left( -5 \right) = 36 - 20 = 16 \).
\( x_1 = \dfrac{-6 - 4}{-2} = 5 \) et \( x_2 = \dfrac{-6 + 4}{-2} = 1 \).
Le trinôme est du signe de \( a = -1 \) (négatif) à l'intérieur des racines.

L'ensemble des solutions est \( S = \left] 1 ; 5 \right[ \).

3) Résolution de \( x^2 + 2x + 1 \le 0 \)

On remarque l'identité remarquable : \( x^2 + 2x + 1 = \left( x + 1 \right)^2 \).
Un carré est toujours positif ou nul. Donc \( \left( x + 1 \right)^2 \le 0 \) n'est vrai que si \( \left( x + 1 \right)^2 = 0 \).
Cela donne \( x = -1 \).
\( S = \left\{ -1 \right\} \).

4) Résolution de \( 3x^2 - x + 1 > 0 \)

\( \Delta = \left( -1 \right)^2 - 4 \times 3 \times 1 = 1 - 12 = -11 \).
\( \Delta < 0 \), donc le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de \( a = 3 \) (positif) sur \( \mathbb{R} \).
\( S = \mathbb{R} \).

5) Résolution de \( -2x^2 + 7x - 3 < 0 \)

\( \Delta = 7^2 - 4 \times \left( -2 \right) \times \left( -3 \right) = 49 - 24 = 25 \).
\( x_1 = \dfrac{-7 - 5}{-4} = 3 \) et \( x_2 = \dfrac{-7 + 5}{-4} = \dfrac{1}{2} \).
Le signe est négatif à l'extérieur des racines car \( a = -2 \).

L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; \dfrac{1}{2} \right[ \cup \left] 3 ; +\infty \right[ \).

1) Résolution de \( \dfrac{x^2-1}{-3x+2} \le 0 \)

Valeur interdite (VI) : \( -3x+2 = 0 \) donc \( x = \dfrac{2}{3} \).
Racines du numérateur : \( x^2-1 = 0 \) donc \( x = 1 \) ou \( x = -1 \).
On étudie les signes de chaque facteur :

L'ensemble des solutions est \( S = \left[ -1 ; \dfrac{2}{3} \right[ \cup \left[ 1 ; +\infty \right[ \).

2) Résolution de \( \dfrac{x^2-7}{(x-5)^2} \ge 0 \)

VI : \( x = 5 \). Racines numérateur : \( x^2 = 7 \) donc \( x = \sqrt{7} \) ou \( x = -\sqrt{7} \).
Le dénominateur \( \left( x-5 \right)^2 \) est toujours positif pour \( x \neq 5 \). Le signe du quotient dépend donc uniquement du numérateur.

L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; -\sqrt{7} \right] \cup \left[ \sqrt{7} ; 5 \right[ \cup \left] 5 ; +\infty \right[ \).

3) Résolution de \( \dfrac{x^2+x+1}{2x-6} \ge 0 \)

Numérateur : \( \Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0 \). Donc \( x^2+x+1 \) est toujours du signe de \( a=1 \) (positif).
VI : \( 2x-6 = 0 \) donc \( x = 3 \).
Le quotient est positif quand \( 2x-6 > 0 \), soit \( x > 3 \).
\( S = \left] 3 ; +\infty \right[ \).

4) Résolution de \( \dfrac{-x^2+4x-4}{x+1} > 0 \)

VI : \( x = -1 \). Racine numérateur : \( -x^2+4x-4 = -\left( x-2 \right)^2 \).
Le numérateur est toujours négatif ou nul (en \( x = 2 \)). Le signe du quotient dépend de \( x+1 \).
\( S = \left] -\infty ; -1 \right[ \).

5) Résolution de \( \dfrac{x^2-4}{2-x} \le 0 \)

VI : \( x = 2 \). Racines numérateur : \( x^2-4=0 \) donc \( x=2 \) ou \( x=-2 \).
Ici, \( x=2 \) est à la fois racine du numérateur et valeur interdite. Pour \( x \neq 2 \), on a \( \dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{-\left(x-2\right)} = -\left(x+2\right) \).
On cherche donc \( -x-2 \le 0 \), soit \( x \ge -2 \) avec \( x \neq 2 \).
\( S = \left[ -2 ; 2 \right[ \cup \left] 2 ; +\infty \right[ \).

1) Résolution de \( \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x + 2} < 0 \)

Racines du numérateur : \( \Delta = 4 \). \( x_1 = 1 \) et \( x_2 = 3 \).
VI : \( x = -2 \). Étude de signes :

L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left] 1 ; 3 \right[ \).

2) Résolution de \( \dfrac{x^2+x-6}{5-x} \ge 0 \)

Racines numérateur : \( \Delta = 25 \). \( x_1 = -3 \) et \( x_2 = 2 \).
VI : \( x = 5 \). Étude de signes :

L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; -3 \right] \cup \left[ 2 ; 5 \right[ \).

3) Résolution de \( \dfrac{-x^2+2x-1}{x+3} < 0 \)

Racine numérateur : \( \Delta = 0 \). \( x_0 = 1 \). Le numérateur est \( -\left(x-1\right)^2 \).
VI : \( x = -3 \). Étude de signes :

L'ensemble des solutions est \( S = \left] -3 ; 1 \right[ \cup \left] 1 ; +\infty \right[ \).

1) Résolution de \( \dfrac{5 - x}{-x^2 + x + 6} \le 0 \)

VI : On résout \( -x^2+x+6=0 \). \( \Delta = 25 \). \( x_1 = 3 \) et \( x_2 = -2 \).
Racine numérateur : \( x = 5 \).
Le signe de \( -x^2+x+6 \) est négatif à l'extérieur des racines (\( a = -1 \)).

L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left] 3 ; 5 \right] \).

2) Résolution de \( \dfrac{x+1}{x^2-x-2} \ge 0 \)

VI : On résout \( x^2-x-2=0 \). \( \Delta = 9 \). \( x_1 = 2 \) et \( x_2 = -1 \).
Racine numérateur : \( x = -1 \).
Ici \( x = -1 \) est à la fois racine et valeur interdite. Pour \( x \neq -1 \), on simplifie par \( x+1 \).
On a \( \dfrac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)} = \dfrac{1}{x-2} \). On cherche donc \( x-2 > 0 \).
\( S = \left] 2 ; +\infty \right[ \).

3) Résolution de \( \dfrac{x}{-x^2+4x-3} > 0 \)

VI : \( \Delta = 4 \). \( x_1 = 1 \) et \( x_2 = 3 \).
Racine numérateur : \( x = 0 \).
Le signe de \( -x^2+4x-3 \) est négatif à l'extérieur des racines.

L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; 0 \right[ \cup \left] 1 ; 3 \right[ \).

1) Résolution de \( \dfrac{x^2 - 9}{1 - x^2} > 0 \)

Racines numérateur : \( x = 3 \) et \( x = -3 \).
VI (Dénominatueur) : \( 1-x^2=0 \implies x=1 \) et \( x=-1 \).
On construit le tableau de signes :

L'ensemble des solutions est \( S = \left] -3 ; -1 \right[ \cup \left] 1 ; 3 \right[ \).

2) Résolution de \( \dfrac{x^2-10x+25}{x^2-4x} \le 0 \)

Racine numérateur : \( \left(x-5\right)^2 = 0 \implies x = 5 \) (toujours positif ou nul).
VI (Dénominatueur) : \( x\left(x-4\right) = 0 \implies x=0 \) et \( x=4 \).
Le signe du quotient est celui de \( x\left(x-4\right) \) sauf en \( x = 5 \).

L'ensemble des solutions est \( S = \left] 0 ; 4 \right[ \cup \left\{ 5 \right\} \).