Equations du second degré et quotients

(E1): $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(3) = 25 - 12 = 13 > 0$. Deux solutions : $x_1 = \frac{5-\sqrt{13}}{2}$ et $x_2 = \frac{5+\sqrt{13}}{2}$.

$S = \{\frac{5-\sqrt{13}}{2}; \frac{5+\sqrt{13}}{2}\}$

(E2): $\Delta = 6^2 - 4(-1)(-9) = 36 - 36 = 0$. Une solution : $x_0 = \frac{-6}{2(-1)} = 3$.

$S = \{3\}$

(E3): $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$. Pas de solution réelle.

$S = \emptyset$

(E4): $\Delta = 4^2 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 16 + 12 = 28 > 0$. Deux solutions : $x_1 = \frac{-4-\sqrt{28}}{2\sqrt{3}} = \frac{-4-2\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2-\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ et $x_2 = \frac{-2+\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$.

$S = \{\frac{-2-\sqrt{7}}{\sqrt{3}}; \frac{-2+\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\}$

(E5): On multiplie par 2 : $-x^2 + 2x + 1 = 0$. $\Delta = 2^2 - 4(-1)(1) = 4 + 4 = 8 > 0$. Deux solutions : $x_1 = \frac{-2-\sqrt{8}}{-2} = 1+\sqrt{2}$ et $x_2 = \frac{-2+\sqrt{8}}{-2} = 1-\sqrt{2}$.

$S = \{1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}\}$

(E1): $9(x-1)^2 - 16 = 0$. On reconnaît une identité remarquable de la forme $a^2-b^2=0$ avec $a=3(x-1)$ et $b=4$. Donc $(3(x-1)-4)(3(x-1)+4) = 0$. Donc $(3x-3-4)(3x-3+4) = 0$. Donc $(3x-7)(3x+1)=0$. Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul. Donc $3x-7=0$ ou $3x+1=0$. Donc $x = \frac{7}{3}$ ou $x = -\frac{1}{3}$.

$S = \{-\frac{1}{3}; \frac{7}{3}\}$

(E2): $4x^2 + 16x + 16 = 0$. Donc $4(x^2+4x+4)=0$. Donc $4(x+2)^2=0$. Donc $x+2=0$. Donc $x=-2$.

$S = \{-2\}$

(E3): 3 est une racine évidente. Le produit des racines $x_1 \cdot x_2 = c/a = 3/(-2)$. Donc $3 \cdot x_2 = -3/2$. Donc $x_2 = -1/2$.

$S = \{-\frac{1}{2}; 3\}$

(E4): On factorise par $5x$: $5x(x-2)=0$. Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul. Donc $5x=0$ ou $x-2=0$. Donc $x=0$ ou $x=2$.

$S = \{0; 2\}$

(E5): 1 est une racine évidente car $1^2+1-2=0$. Le produit des racines $x_1 \cdot x_2 = c/a = -2/1 = -2$. Donc $1 \cdot x_2 = -2$. Donc $x_2=-2$.

$S = \{-2; 1\}$

(E1): Valeurs interdites: $x \neq -2, x \neq -3$. On met au même dénominateur : $\frac{2(x+3)-3(x+2)}{(x+2)(x+3)} = 1$. Donc $2x+6-3x-6 = (x+2)(x+3)$. Donc $-x = x^2+5x+6$. Donc $x^2+6x+6=0$. $\Delta = 36-24=12$. $x_1 = \frac{-6-\sqrt{12}}{2} = -3-\sqrt{3}$, $x_2 = -3+\sqrt{3}$. Les deux solutions sont valides.

$S = \{-3-\sqrt{3}; -3+\sqrt{3}\}$

(E2): Valeur interdite: $x \neq 1/2$. L'équation équivaut à $2x^2-7x+3=0$. $\Delta = 49-24=25$. $x_1=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}$ (valeur interdite!), $x_2=\frac{7+5}{4}=3$.

$S = \{3\}$

(E3): Valeurs interdites: $x \neq 0, x \neq 1/2$. On met au même dénominateur : $\frac{3(2x-1)-x}{x(2x-1)}=2$. Donc $5x-3=2(2x^2-x)$. Donc $5x-3 = 4x^2-2x$. Donc $4x^2-7x+3=0$. $\Delta=49-48=1$. $x_1=\frac{7-1}{8}=\frac{3}{4}$, $x_2=\frac{7+1}{8}=1$. Les deux sont valides.

$S = \{\frac{3}{4}; 1\}$

(E4): Valeur interdite: $x \neq 1$. Pour $x \neq 1$, $5 = 3(x-1)$. Donc $5 = 3x-3$. Donc $8=3x$. Donc $x=8/3$. La solution est valide.

$S = \{\frac{8}{3}\}$

(E5): Valeur interdite: $x \neq -1$. Pour $x \neq -1$, on met au même dénominateur: $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{1}{x+1}$. Donc $\frac{2x+1}{x+1} = \frac{1}{x+1}$. Donc $2x+1=1$. Donc $2x=0$. Donc $x=0$. La solution est valide.

$S = \{0\}$

(E1): Valeur interdite: $x=3$. Pour $x \neq 3$, $x^2 + 2x - 15 = (2x+1)(x-3)$ donc $x^2 + 2x - 15 = 2x^2 - 5x - 3$ donc $x^2 - 7x + 12 = 0$. $\Delta = 49-48=1$. Racines: $x_1=3$ (interdite) et $x_2=4$.

$S=\{4\}$

(E2): Valeur interdite: $x=0$. Pour $x \neq 0$, $x^2+4=2x$ donc $x^2-2x+4=0$. $\Delta = 4-16=-12<0$. Pas de solution réelle.

$S=\emptyset$

(E3): Valeur interdite: $x=2$. Pour $x \neq 2$, $x^2 - 3x + 2 = (2x-3)(x-2)$ donc $x^2 - 3x + 2 = 2x^2-7x+6$ donc $x^2-4x+4=0$ donc $(x-2)^2=0$. La seule racine est $x=2$, qui est la valeur interdite.

$S=\emptyset$

(E4): Valeur interdite: $x=-3$. Pour $x \neq -3$, $2x^2+5x-3=(x+1)(x+3)$ donc $2x^2+5x-3 = x^2+4x+3$ donc $x^2+x-6=0$ donc $(x+3)(x-2)=0$. Racines: $x_1=-3$ (interdite) et $x_2=2$.

$S=\{2\}$

(E5): Valeur interdite: $x=-1$. Pour $x \neq -1$, $x^2-1=2(x+1)$ donc $(x-1)(x+1)=2(x+1)$ donc $(x+1)(x-1-2)=0$ donc $(x+1)(x-3)=0$. Racines: $x_1=-1$ (interdite) et $x_2=3$.

$S=\{3\}$