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La loi exponentielle

Série d'entraînement : Détermination de paramètre, Probabilités et Espérance

Exercice 1 : Durée de vie d'un moteur

La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (réel strictement positif).

  1. Sachant que $P\left( X \leq 2 \right) = 0,15$, déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.
  2. Dans la suite, on prendra $\lambda = 0,081$. Déterminer $P\left( X \geq 3 \right)$ arrondi au centième.
  3. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
  4. Calculer l'espérance de $X$ et donner une interprétation.

Corrigé détaillé de l'Exercice 1

1. $P\left( X \leq 2 \right) = 1 - e^{-2\lambda} = 0,15$.
donc $e^{-2\lambda} = 0,85$ donc $-2\lambda = \ln\left( 0,85 \right)$ donc $\lambda = -\dfrac{\ln\left( 0,85 \right)}{2} \approx 0,081$.

2. $P\left( X \geq 3 \right) = e^{-3 \times 0,081} = e^{-0,243} \approx $ $0,78$.

3. Par absence de mémoire : $P_{X \geq 3}\left( X \geq 3+2 \right) = P\left( X \geq 2 \right)$.
$P\left( X \geq 2 \right) = e^{-2 \times 0,081} = e^{-0,162} \approx $ $0,85$.

4. $E\left( X \right) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,081} \approx $ $12,35$.
La durée de vie moyenne du moteur est d'environ 12 ans et 4 mois.

Exercice 2 : Assistance téléphonique

La durée d'attente $D_1$ (en minutes) d'un client Internet suit une loi exponentielle de paramètre $0,6$.

  1. Quelle est la durée d'attente moyenne que peut espérer un client Internet ?
  2. Calculer la probabilité que l'attente soit inférieure à 5 minutes (arrondi à $10^{-3}$).
  3. Pour un client mobile, la durée d'attente $D_2$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Sachant que $P\left( D_2 \leq 4 \right) = 0,798$, déterminer la valeur de $\lambda$.
  4. En prenant $\lambda = 0,4$, peut-on considérer que moins de $10 \%$ des clients mobiles attendent plus de 5 minutes ? Justifier.

Corrigé détaillé de l'Exercice 2

1. $E\left( D_1 \right) = \dfrac{1}{0,6} = \dfrac{10}{6} = $ $\dfrac{5}{3} \approx 1,67$ minutes (soit 1 min 40 s).

2. $P\left( D_1 \leq 5 \right) = 1 - e^{-0,6 \times 5} = 1 - e^{-3} \approx $ $0,950$.

3. $1 - e^{-4\lambda} = 0,798$ donc $e^{-4\lambda} = 0,202$ donc $-4\lambda = \ln\left( 0,202 \right)$ donc $\lambda = -\dfrac{\ln\left( 0,202 \right)}{4} \approx 0,4$.

4. On cherche $P\left( D_2 > 5 \right)$. Avec $\lambda = 0,4$, $P\left( D_2 > 5 \right) = e^{-0,4 \times 5} = e^{-2} \approx 0,135$.
Comme $0,135 > 0,10$, on ne peut pas considérer que moins de $10 \%$ attendent plus de 5 minutes. C'est environ $13,5 \%$.

Exercice 3 : Distributeur de glaces

La durée $X$ (en mois) de fonctionnement sans panne d'un distributeur suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. L'espérance de $X$ est de 10 mois.

  1. Justifier que $\lambda = 0,1$.
  2. Calculer la probabilité que le distributeur n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
  3. Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les 6 premiers mois, quelle est la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fin de la première année ?
  4. Le commerçant remplacera son distributeur au bout d'un temps $t$ tel que $P\left( X > t \right) = 0,05$. Déterminer $t$ à l'unité près.

Corrigé détaillé de l'Exercice 3

1. $E\left( X \right) = \dfrac{1}{\lambda} = 10$ donc $\lambda = 0,1$.

2. « Aucune panne pendant 6 mois » signifie $X > 6$.
$P\left( X > 6 \right) = e^{-0,1 \times 6} = e^{-0,6} \approx $ $0,55$.

3. On cherche $P_{X > 6}\left( X > 12 \right)$. Par absence de mémoire, cela vaut $P\left( X > 12 - 6 \right) = P\left( X > 6 \right)$.
Le résultat est identique : $0,55$.

4. $e^{-0,1t} = 0,05$ donc $-0,1t = \ln\left( 0,05 \right)$ donc $t = \dfrac{\ln\left( 0,05 \right)}{-0,1} \approx $ $30$ mois.

Exercice 4 : Gestion des chronomètres

La durée de vie $T$ (en mois) d'un chronomètre suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0555$.

  1. Calculer la durée de vie moyenne d'un chronomètre (arrondie à l'unité).
  2. Calculer la probabilité qu'un chronomètre ait une durée de vie comprise entre un et deux ans (arrondi au centième).
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction de densité $f\left( t \right) = 0,0555 e^{-0,0555t}$ sur $\left[ 0 \ ; \ +\infty \right[$.
  4. Un entraîneur n'a pas changé son chronomètre depuis deux ans. Quelle est la probabilité qu'il soit encore en état de fonctionner au moins un an de plus ?

Corrigé détaillé de l'Exercice 4

1. $E\left( T \right) = \dfrac{1}{0,0555} \approx $ $18$ mois.

2. Entre 1 an (12 mois) et 2 ans (24 mois) :
$P\left( 12 \leq T \leq 24 \right) = e^{-0,0555 \times 12} - e^{-0,0555 \times 24} = e^{-0,666} - e^{-1,332} \approx 0,5138 - 0,2640 \approx $ $0,25$.

$t$
$0$
$+\infty$
$f(t)$
$0,0555$
$0$

4. On cherche $P_{T \geq 24}\left( T \geq 24+12 \right)$. Par absence de mémoire de la loi exponentielle, cette probabilité est égale à $P\left( T \geq 12 \right)$.
$P\left( T \geq 12 \right) = e^{-0,0555 \times 12} = e^{-0,666} \approx $ $0,51$.

Exercice 5 : Fiabilité électronique

Le temps de bon fonctionnement $X$ (en heures) d'une puce électronique suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0002$.

  1. Quelle est la durée de vie moyenne de cette puce ?
  2. Déterminer la probabilité que la puce tombe en panne dans les 500 premières heures.
  3. Déterminer la valeur exacte du temps médian $m$ tel que $P\left( X \leq m \right) = 0,5$.
  4. Calculer la probabilité que la puce fonctionne encore après 10 000 heures sachant qu'elle fonctionne après 8 000 heures.

Corrigé détaillé de l'Exercice 5

1. $E\left( X \right) = \dfrac{1}{0,0002} = $ $5000$ heures.

2. $P\left( X \leq 500 \right) = 1 - e^{-0,0002 \times 500} = 1 - e^{-0,1} \approx $ $0,095$.

3. On résout $1 - e^{-\lambda m} = 0,5$ donc $e^{-\lambda m} = 0,5$ donc $-\lambda m = \ln\left( 0,5 \right)$ donc $m = \dfrac{\ln\left( 0,5 \right)}{-\lambda} = \dfrac{-\ln 2}{-\lambda} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
$m = \dfrac{\ln 2}{0,0002} = 5000 \ln 2 \approx $ $3466$ heures.

4. Par absence de mémoire : $P_{X \geq 8000}\left( X \geq 10000 \right) = P\left( X \geq 10000 - 8000 \right) = P\left( X \geq 2000 \right)$.
$P\left( X \geq 2000 \right) = e^{-0,0002 \times 2000} = e^{-0,4} \approx $ $0,670$.