La loi uniforme continue
Série d'entraînement : Densité, Probabilités et Espérance
Exercice 1 : Le rendez-vous de Pierre
Pierre a pris rendez-vous dans une fabrique de jus de pomme artisanale. Il arrive au hasard entre 8 heures et 9 heures 30 minutes.
Son heure d'arrivée est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[ 8 \ ; \ 9,5 \right]$.
- Déterminer la fonction de densité $f$ de la variable aléatoire $X$.
- Calculer la probabilité que Pierre arrive entre 8h 30 et 8h 45.
- Quelle est la probabilité que Pierre arrive avant 8h 15 ?
- Calculer l'heure moyenne d'arrivée de Pierre.
Corrigé détaillé de l'Exercice 1
1. $X \sim \mathcal{U}\left( \left[ 8 \ ; \ 9,5 \right] \right)$. La densité est $f(x) = \dfrac{1}{9,5 - 8} = \dfrac{1}{1,5} = $ $\dfrac{2}{3}$.
2. 8h 30 correspond à $8,5$ et 8h 45 correspond à $8,75$.
$P\left( 8,5 \leq X \leq 8,75 \right) = \dfrac{8,75 - 8,5}{9,5 - 8} = \dfrac{0,25}{1,5} = \dfrac{1}{6} \approx $ $0,167$.
3. 8h 15 correspond à $8,25$.
$P\left( X \leq 8,25 \right) = \dfrac{8,25 - 8}{9,5 - 8} = \dfrac{0,25}{1,5} = \dfrac{1}{6} \approx $ $0,167$.
4. $E(X) = \dfrac{8 + 9,5}{2} = \dfrac{17,5}{2} = 8,75$.
$0,75$ heure correspond à $45$ minutes. Pierre arrive donc en moyenne à 8h 45.
Exercice 2 : L'entraînement d'Antoine
Chaque jour, Antoine s'entraîne au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure.
On modélise la durée de son entraînement, en minutes, par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[ 20 \ ; \ 60 \right]$.
- Calculer la probabilité $p$ pour que l'entraînement dure plus de 30 minutes.
- Calculer la probabilité que l'entraînement dure entre 45 et 55 minutes.
- Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
- Antoine a déjà commencé depuis 25 minutes. Quelle est la probabilité que son entraînement dure encore au moins 15 minutes ?
Corrigé détaillé de l'Exercice 2
1. $P\left( X \geq 30 \right) = \dfrac{60 - 30}{60 - 20} = \dfrac{30}{40} = $ $0,75$.
2. $P\left( 45 \leq X \leq 55 \right) = \dfrac{55 - 45}{60 - 20} = \dfrac{10}{40} = $ $0,25$.
3. $E(X) = \dfrac{20 + 60}{2} = \dfrac{80}{2} = $ $40$.
En moyenne, la durée d'entraînement d'Antoine est de 40 minutes.
4. On cherche $P_{X \geq 25}\left( X \geq 40 \right) = \dfrac{P\left( X \geq 40 \right)}{P\left( X \geq 25 \right)}$.
$P\left( X \geq 40 \right) = \dfrac{20}{40} = 0,5$ et $P\left( X \geq 25 \right) = \dfrac{35}{40} = 0,875$.
Le résultat est $\dfrac{0,5}{0,875} = \dfrac{1/2}{7/8} = \dfrac{4}{7} \approx $ $0,571$.
Exercice 3 : Rendez-vous Martin et Valentin
M. Martin et M. Valentin se donnent rendez-vous entre 12h et 14h. Proche du lieu fixé, M. Valentin arrivera à 12h 30 précisément.
L'arrivée de M. Martin suit une loi uniforme $X$ sur l'intervalle $\left[ 12 \ ; \ 13 \right]$.
- Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?
- Calculer la probabilité que M. Martin arrive avant M. Valentin.
- Calculer la probabilité que M. Valentin attende M. Martin plus de 12 minutes.
- M. Valentin attend déjà depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il attende encore au moins 5 minutes ?
Corrigé détaillé de l'Exercice 3
1. $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[ 12 \ ; \ 13 \right]$. Sa densité est $f(x) = 1$.
2. M. Valentin arrive à 12h 30 ($12,5$). M. Martin arrive avant lui si $X \leq 12,5$.
$P\left( X \leq 12,5 \right) = \dfrac{12,5 - 12}{13 - 12} = $ $0,5$.
3. Valentin attend Martin si Martin arrive *après* Valentin. 12 minutes correspondent à $0,2$ heure.
Valentin attend plus de 12 minutes si Martin arrive après 12h 30 + 12 min, soit après 12h 42 ($12,7$).
$P\left( X > 12,7 \right) = \dfrac{13 - 12,7}{13 - 12} = $ $0,3$.
4. Valentin attend depuis 10 min ($12h30 + 10min = 12h40 \approx 12,66$). Il attend encore 5 min si Martin arrive après 12h 45 ($12,75$).
$P_{X \geq 12,66}\left( X \geq 12,75 \right) = \dfrac{13 - 12,75}{13 - 12,66} = \dfrac{0,25}{0,33} \approx $ $0,75$.
Exercice 4 : Safari photo
À 20h, un groupe de touristes fait une pause autour d'un point d'eau pour observer les éléphants. On considère que le temps d'attente $X$ (en minutes) suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[ 0 \ ; \ 90 \right]$.
- Quelle est la probabilité que le groupe attende plus d'une heure avant d'apercevoir les éléphants ?
- Calculer l'heure moyenne d'arrivée des éléphants.
- Dresser le tableau de variations de la fonction de répartition $F$ de $X$ sur $\left[ 0 \ ; \ 90 \right]$.
- Calculer la probabilité que les éléphants arrivent entre 20h 15 et 21h 15.
Corrigé détaillé de l'Exercice 4
1. Une heure correspond à 60 minutes. On cherche $P\left( X \geq 60 \right) = \dfrac{90 - 60}{90 - 0} = \dfrac{30}{90} = $ $\dfrac{1}{3} \approx 0,333$.
2. $E(X) = \dfrac{0 + 90}{2} = 45$ minutes. L'heure moyenne est donc 20h + 45 min = 20h 45.
3. $F(x) = P\left( X \leq x \right) = \dfrac{x}{90}$. Cette fonction est strictement croissante.
4. Entre 20h 15 ($15$ min) et 21h 15 ($75$ min) :
$P\left( 15 \leq X \leq 75 \right) = \dfrac{75 - 15}{90} = \dfrac{60}{90} = $ $\dfrac{2}{3} \approx 0,667$.
Exercice 5 : Paramètres et conditionnement
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $\left[ a \ ; \ 15 \right]$. On sait que $P\left( X \leq 10 \right) = 0,5$.
- Déterminer la valeur du réel $a$.
- Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
- Calculer la probabilité $P\left( 7 \leq X \leq 12 \right)$.
- Calculer la probabilité $P_{X \geq 8}\left( X \leq 12 \right)$.
Corrigé détaillé de l'Exercice 5
1. $P\left( X \leq 10 \right) = \dfrac{10 - a}{15 - a}$. On résout $\dfrac{10 - a}{15 - a} = 0,5$.
$10 - a = 0,5\left( 15 - a \right)$ donc $10 - a = 7,5 - 0,5a$ donc $2,5 = 0,5a$ donc $a = 5$.
2. $E(X) = \dfrac{5 + 15}{2} = $ $10$.
3. $P\left( 7 \leq X \leq 12 \right) = \dfrac{12 - 7}{15 - 5} = \dfrac{5}{10} = $ $0,5$.
4. $P_{X \geq 8}\left( X \leq 12 \right) = \dfrac{P\left( 8 \leq X \leq 12 \right)}{P\left( X \geq 8 \right)}$.
$P\left( 8 \leq X \leq 12 \right) = \dfrac{4}{10} = 0,4$ et $P\left( X \geq 8 \right) = \dfrac{7}{10} = 0,7$.
Le résultat est $\dfrac{0,4}{0,7} = $ $\dfrac{4}{7} \approx 0,571$.