Lois à densité de probabilité
Série d'entraînement : Densité, Intégrales et Espérance
Exercice 1 : Étude d'une densité avec exponentielle
On considère la fonction $f : x \mapsto k - e^{-x}$ définie sur $\left[ 0 ; 1 \right]$ où $k$ est un réel fixé tel que $k > 1$.
- Dresser le tableau de variations de $g : x \mapsto e^{-x}$ sur $\left[ 0 ; 1 \right]$ puis en déduire le signe de $f$ sur $\left[ 0 ; 1 \right]$.
- Montrer que la fonction $F : x \mapsto kx + e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\left[ 0 ; 1 \right]$.
- Déterminer la valeur exacte du réel $k$ tel que $f$ définisse une densité de probabilité sur l'intervalle $\left[ 0 ; 1 \right]$.
Corrigé détaillé de l'Exercice 1
1. $g'(x) = -e^{-x}$. Comme l'exponentielle est toujours positive, $g'(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$. Donc $g$ est strictement décroissante.
Comme $k > 1$ et que le maximum de $e^{-x}$ sur $\left[ 0 ; 1 \right]$ est $1$, on a $k > e^{-x}$, donc $f(x) = k - e^{-x} > 0$. La fonction $f$ est positive sur $\left[ 0 ; 1 \right]$.
2. $F$ est dérivable sur $\left[ 0 ; 1 \right]$ : $F'(x) = k + \left( -e^{-x} \right) = k - e^{-x} = f(x)$. Donc $F$ est bien une primitive de $f$.
3. $f$ est une densité si $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 1$.
On a $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \left( k(1) + e^{-1} \right) - \left( k(0) + e^{0} \right) = k + e^{-1} - 1$.
On résout $k + e^{-1} - 1 = 1$ donc $k = 2 - e^{-1} = 2 - \dfrac{1}{e}$.
Exercice 2 : Durée de vie d'un composant
La durée de vie $X$ (en années) d'un composant suit une loi de densité $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{9}x^{2}$ sur $\left[ 0 ; 3 \right]$.
- Montrer que $f$ définit bien une fonction de densité de probabilité sur $\left[ 0 ; 3 \right]$.
- Calculer la probabilité $p_{1}$ que le composant soit hors d'usage avant un an.
- Calculer la probabilité $p_{2}$ qu'il casse pendant la deuxième année.
Corrigé détaillé de l'Exercice 2
1. $f$ est continue sur $\left[ 0 ; 3 \right]$. Sur cet intervalle, $f(x) = \dfrac{2}{3}x \left( 1 - \dfrac{x}{3} \right)$. Comme $x \in \left[ 0 ; 3 \right]$, on a $1 - \dfrac{x}{3} \geq 0$, donc $f(x) \geq 0$.
Calculons l'intégrale : $\int_{0}^{3} \left( \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{9}x^{2} \right) \, dx = \left[ \dfrac{x^{2}}{3} - \dfrac{2x^{3}}{27} \right]_{0}^{3} = \left( \dfrac{9}{3} - \dfrac{2 \times 27}{27} \right) - 0 = 3 - 2 = $ $1$.
$f$ est positive et d'intégrale égale à 1, c'est donc une densité.
2. $p_{1} = P\left( X \leq 1 \right) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \left[ \dfrac{x^{2}}{3} - \dfrac{2x^{3}}{27} \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{27} = \dfrac{9-2}{27} = $ $\dfrac{7}{27} \approx 0,259$.
3. $p_{2} = P\left( 1 \leq X \leq 2 \right) = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = \left[ \dfrac{x^{2}}{3} - \dfrac{2x^{3}}{27} \right]_{1}^{2} = \left( \dfrac{4}{3} - \dfrac{16}{27} \right) - \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{27} \right) = \dfrac{20}{27} - \dfrac{7}{27} = $ $\dfrac{13}{27} \approx 0,481$.
Exercice 3 : Densité avec logarithme
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln x$ sur l'intervalle $\left[ 1 ; e \right]$.
- Montrer que la fonction $F$ telle que $F(x) = x \ln x - x$ est une primitive de $f$ sur $\left[ 1 ; e \right]$.
- Montrer que $f$ est une fonction de densité sur l'intervalle $\left[ 1 ; e \right]$.
- Soit $X$ la variable aléatoire de densité $f$. Calculer la valeur exacte de $P\left( 1 \leq X \leq 2 \right)$.
Corrigé détaillé de l'Exercice 3
1. $F'(x) = (1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x}) - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x = f(x)$. Donc $F$ est bien une primitive.
2. Sur $\left[ 1 ; e \right]$, $x \geq 1$ donc $\ln x \geq 0$. $f$ est positive.
Calcul de l'intégrale : $\int_{1}^{e} \ln x \, dx = F(e) - F(1) = (e \ln e - e) - (1 \ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = $ $1$.
$f$ est positive et son intégrale vaut 1, c'est donc une densité.
3. $P\left( 1 \leq X \leq 2 \right) = F(2) - F(1) = (2 \ln 2 - 2) - (-1) = $ $2 \ln 2 - 1 \approx 0,386$.
Exercice 4 : Loi exponentielle tronquée
- Calculer une primitive de la fonction $f$ définie sur $\left[ 0 ; +\infty \right[$ par $f(x) = e^{-x}$.
- Montrer que la fonction $g$ définie par $g(x) = k \times f(x)$ avec $k = \dfrac{e}{e-1}$ est une fonction de densité sur $\left[ 0 ; 1 \right]$.
- Soit $X$ la variable aléatoire de densité $g$. Calculer la valeur approchée à $10^{-2}$ près de $P\left( X \geq 0,5 \right)$.
Corrigé détaillé de l'Exercice 4
1. Une primitive de $f(x) = e^{-x}$ est $H(x) = -e^{-x}$.
2. $g$ est positive sur $\left[ 0 ; 1 \right]$ car l'exponentielle et $k$ sont positifs.
$\int_{0}^{1} g(x) \, dx = k \int_{0}^{1} e^{-x} \, dx = k \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} = k \left( -e^{-1} - (-e^{0}) \right) = k \left( 1 - \dfrac{1}{e} \right)$.
En remplaçant $k = \dfrac{e}{e-1}$ : $\dfrac{e}{e-1} \times \dfrac{e-1}{e} = $ $1$. Donc $g$ est une densité.
3. $P\left( X \geq 0,5 \right) = \int_{0,5}^{1} g(x) \, dx = k \left[ -e^{-x} \right]_{0,5}^{1} = \dfrac{e}{e-1} \left( -e^{-1} + e^{-0,5} \right) = \dfrac{-1 + e^{0,5}}{e-1} \approx $ $0,38$.
Exercice 5 : Densité polynomiale et Espérance
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[ 0 ; 2 \right]$ par $f(x) = \dfrac{3}{8}x^{2}$.
- Justifier que $f$ est une fonction de densité sur $\left[ 0 ; 2 \right]$.
- Calculer la probabilité $P\left( X \geq 1 \right)$.
- Calculer la probabilité $P_{X \geq 1}\left( X \leq 1,5 \right)$.
- Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
Corrigé détaillé de l'Exercice 5
1. $f$ est continue et positive sur $\left[ 0 ; 2 \right]$.
$\int_{0}^{2} \dfrac{3}{8}x^{2} \, dx = \left[ \dfrac{3}{8} \times \dfrac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ \dfrac{x^{3}}{8} \right]_{0}^{2} = \dfrac{8}{8} - 0 = $ $1$. C'est donc une densité.
2. $P\left( X \geq 1 \right) = \int_{1}^{2} \dfrac{3}{8}x^{2} \, dx = \left[ \dfrac{x^{3}}{8} \right]_{1}^{2} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{1}{8} = $ $\dfrac{7}{8} = 0,875$.
3. $P_{X \geq 1}\left( X \leq 1,5 \right) = \dfrac{P\left( 1 \leq X \leq 1,5 \right)}{P\left( X \geq 1 \right)}$.
$P\left( 1 \leq X \leq 1,5 \right) = \left[ \dfrac{x^{3}}{8} \right]_{1}^{1,5} = \dfrac{3,375 - 1}{8} = \dfrac{2,375}{8}$.
Donc $P_{X \geq 1}\left( X \leq 1,5 \right) = \dfrac{2,375/8}{7/8} = \dfrac{2,375}{7} \approx $ $0,339$.
4. $E(X) = \int_{0}^{2} x f(x) \, dx = \int_{0}^{2} \dfrac{3}{8}x^{3} \, dx = \left[ \dfrac{3}{8} \times \dfrac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{2} = \left[ \dfrac{3x^{4}}{32} \right]_{0}^{2} = \dfrac{3 \times 16}{32} = $ $1,5$.