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La loi géométrique

Série d'entraînement intensive : 5 exercices, 20 questions

Exercice 1 : Calculs de base

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p = 0,4$.

  1. Déterminer la probabilité que le premier succès survienne exactement au troisième essai.
  2. Calculer la probabilité de l'événement $\left( X \leq 2 \right)$.
  3. Calculer la probabilité de l'événement $\left( X > 3 \right)$.
  4. Calculer l'espérance mathématique $E\left( X \right)$ et interpréter le résultat.

Corrigé détaillé de l'Exercice 1

1. On cherche $P\left( X = 3 \right)$. D'après le cours, $P\left( X = k \right) = \left( 1 - p \right)^{k-1}p$.
On a donc $P\left( X = 3 \right) = \left( 1 - 0,4 \right)^{2} \times 0,4 = 0,6^{2} \times 0,4 = $ $0,144$.

2. $P\left( X \leq 2 \right) = P\left( X = 1 \right) + P\left( X = 2 \right) = 0,4 + \left( 0,6 \times 0,4 \right) = 0,4 + 0,24 = $ $0,64$.

3. $P\left( X > 3 \right) = \left( 1 - p \right)^{3}$ d'après la formule du cours.
On a donc $P\left( X > 3 \right) = 0,6^{3} = $ $0,216$.

4. $E\left( X \right) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{0,4} = $ $2,5$.
En moyenne, il faut effectuer $2,5$ essais pour obtenir le premier succès.

Exercice 2 : Lancer de dé

On lance un dé équilibré à six faces jusqu'à obtenir la face « 6 ». On note $X$ le nombre de lancers nécessaires.

  1. Justifier que $X$ suit une loi géométrique et préciser son paramètre.
  2. Quelle est la probabilité d'obtenir le premier « 6 » au quatrième lancer ?
  3. Quelle est la probabilité que le premier « 6 » apparaisse après le deuxième lancer ?
  4. Combien de lancers doit-on effectuer en moyenne pour obtenir un « 6 » ?

Corrigé détaillé de l'Exercice 2

1. On répète de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli dont le succès est « obtenir 6 » de probabilité $p = \dfrac{1}{6}$.
$X$ représente le rang du premier succès, donc $X$ suit la loi géométrique $\mathcal{G}\left( \dfrac{1}{6} \right)$.

2. $P\left( X = 4 \right) = \left( \dfrac{5}{6} \right)^{3} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{125}{216} \times \dfrac{1}{6} = $ $\dfrac{125}{1296} \approx 0,096$.

3. On cherche $P\left( X > 2 \right) = \left( 1 - p \right)^{2}$.
$P\left( X > 2 \right) = \left( \dfrac{5}{6} \right)^{2} = $ $\dfrac{25}{36} \approx 0,694$.

4. $E\left( X \right) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{1/6} = $ $6$.
Il faut effectuer 6 lancers en moyenne pour obtenir un « 6 ».

Exercice 3 : Contrôle qualité

Un composant présente un défaut de fabrication avec une probabilité $p = 0,01$. On teste les composants jusqu'à trouver le premier défectueux au rang $X$.

  1. Calculer la probabilité que le testeur s'arrête exactement au $10^{\text{e}}$ composant.
  2. Calculer la probabilité que le testeur vérifie au plus 5 composants.
  3. Quelle est la probabilité de ne trouver aucun défaut parmi les 100 premiers composants ?
  4. En moyenne, au bout de combien de composants le testeur trouve-t-il un défaut ?

Corrigé détaillé de l'Exercice 3

1. $X \sim \mathcal{G}\left( 0,01 \right)$. $P\left( X = 10 \right) = 0,99^{9} \times 0,01 \approx $ $0,0091$.

2. $P\left( X \leq 5 \right) = 1 - \left( 1 - p \right)^{5} = 1 - 0,99^{5} \approx 1 - 0,9510 = $ $0,0490$.

3. L'événement correspond à $\left( X > 100 \right)$.
$P\left( X > 100 \right) = 0,99^{100} \approx $ $0,3660$.

4. $E\left( X \right) = \dfrac{1}{0,01} = $ $100$ composants.

Exercice 4 : Propriétés de la loi

On considère $X \sim \mathcal{G}\left( 0,2 \right)$. On note $F\left( n \right) = P\left( X \leq n \right)$ pour tout entier $n \geq 1$.

  1. Montrer que pour tout entier $n \geq 1$, $P\left( X \leq n \right) = 1 - 0,8^{n}$.
  2. Calculer la limite de $P\left( X \leq n \right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction de répartition.
  4. Vérifier la propriété d'absence de mémoire : $P_{X > 5}\left( X > 15 \right) = P\left( X > 10 \right)$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 4

1. $P\left( X \leq n \right) = 1 - P\left( X > n \right) = 1 - \left( 1 - p \right)^{n} = $ $1 - 0,8^{n}$.

2. Comme $0 < 0,8 < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^{n} = 0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} P\left( X \leq n \right) = $ $1$.

$x$
$1$
$+\infty$
$F(x)$
$0,2$
$1$

4. $P_{X > 5}\left( X > 15 \right) = \dfrac{P\left( X > 15 \right)}{P\left( X > 5 \right)} = \dfrac{0,8^{15}}{0,8^{5}} = 0,8^{10} = P\left( X > 10 \right)$.
La loi est sans mémoire.

Exercice 5 : Recherche de seuil

Un archer a une probabilité $p = 0,15$ de toucher le centre. Il tire jusqu'à réussir. On note $X$ le nombre de tirs.

  1. Exprimer $P\left( X \leq n \right)$ en fonction de $n$.
  2. Déterminer le nombre minimal de tirs $n$ pour que la probabilité de réussite soit supérieure à $0,95$.
  3. Résoudre l'inéquation à l'aide du logarithme népérien.
  4. Interpréter la valeur obtenue.

Corrigé détaillé de l'Exercice 5

1. D'après le cours, $P\left( X \leq n \right) = $ $1 - 0,85^{n}$.

2. On résout $1 - 0,85^{n} > 0,95$, donc $0,85^{n} < 0,05$.

3. Par croissance de la fonction $\ln$ :
$\ln\left( 0,85^{n} \right) < \ln\left( 0,05 \right)$ donc $n \ln\left( 0,85 \right) < \ln\left( 0,05 \right)$.
Comme $\ln\left( 0,85 \right) < 0$, on change le sens :
$n > \dfrac{\ln\left( 0,05 \right)}{\ln\left( 0,85 \right)} \approx 18,43$.

4. Le nombre minimal de tirs est $n = 19$.
Il faut prévoir 19 flèches pour atteindre un niveau de confiance de $95 \%$.