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La loi binomiale

Entraînement intensif : Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

Exercice 1 : Production de puces

Une entreprise fabrique des cartes à puce. Chaque puce peut présenter deux défauts $A$ et $B$. Une étude a montré que :
- La probabilité du défaut $A$ est $0,03$.
- La probabilité du défaut $B$ est $0,02$.
- La probabilité d'avoir les deux défauts est $0,0006$.
Une puce est défectueuse dès qu'elle a au moins un défaut.

  1. Montrer que la probabilité $p$ que la puce soit défectueuse est $0,0494$.
  2. On prélève au hasard un lot de $100$ puces (tirage avec remise). $X$ est la variable aléatoire associant à chaque lot le nombre de puces défectueuses.
    • Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
    • Calculer $P\left( X = 5 \right)$ à $10^{-2}$ près.
    • Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une puce défectueuse.
    • Quel est en moyenne le nombre de puces défectueuses par lot ?
  3. Déterminer le nombre minimal $n$ de puces à prélever pour que la probabilité d'en avoir au moins une défectueuse soit supérieure à $0,99$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 1

1. La puce est défectueuse si elle présente le défaut $A$ ou le défaut $B$. On cherche $P\left( A \cup B \right)$.
$P\left( A \cup B \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( A \cap B \right) = 0,03 + 0,02 - 0,0006 = $ $0,0494$.

2. a. On répète $n = 100$ fois de manière identique et indépendante (tirage avec remise) une épreuve de Bernoulli dont le succès est "la puce est défectueuse" de probabilité $p = 0,0494$.
Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left( 100 \ ; \ 0,0494 \right)$.

2. b. $P\left( X = 5 \right) = \dbinom{100}{5} \times 0,0494^{5} \times \left( 1 - 0,0494 \right)^{100-5} \approx $ $0,18$.
Cela signifie qu'il y a environ $18 \%$ de chances d'avoir exactement 5 puces défectueuses dans un lot de 100.

2. c. $P\left( X \geq 1 \right) = 1 - P\left( X = 0 \right) = 1 - 0,9506^{100} \approx $ $0,99$.

2. d. $E\left( X \right) = n \times p = 100 \times 0,0494 = $ $4,94$ puces en moyenne par lot.

3. On cherche $n$ tel que $P\left( X \geq 1 \right) > 0,99$ donc $1 - P\left( X = 0 \right) > 0,99$ donc $1 - 0,9506^{n} > 0,99$ donc $0,9506^{n} < 0,01$.
Par tâtonnement ou en utilisant $\ln$ : $n \times \ln\left( 0,9506 \right) < \ln\left( 0,01 \right)$ donc $n > \dfrac{\ln\left( 0,01 \right)}{\ln\left( 0,9506 \right)} \approx 90,83$.
Il faut donc prélever au minimum $n = 91$ puces.

Exercice 2 : Tabagisme chez les jeunes

En 2010, la proportion de fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans était de $23,6 \%$. On choisit au hasard et de manière indépendante quinze jeunes de cette tranche d'âge. $X$ est le nombre de fumeurs réguliers parmi ces quinze jeunes.

  1. Préciser la loi de probabilité de $X$.
  2. Déterminer les probabilités suivantes (arrondi à $0,001$) :
    • Exactement deux jeunes sont des fumeurs réguliers.
    • Aucun n'est un fumeur régulier.
    • Au plus quatre jeunes sont des fumeurs réguliers.
    • Plus d'un jeune est un fumeur régulier.

Corrigé détaillé de l'Exercice 2

1. Le choix des 15 jeunes est assimilé à une répétition de 15 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p = 0,236$.
Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left( 15 \ ; \ 0,236 \right)$.

2. a. $P\left( X = 2 \right) = \dbinom{15}{2} \times 0,236^{2} \times \left( 1 - 0,236 \right)^{13} \approx $ $0,165$.

2. b. $P\left( X = 0 \right) = 0,764^{15} \approx $ $0,019$.

2. c. $P\left( X \leq 4 \right) = P\left( X=0 \right) + \dots + P\left( X=4 \right) \approx $ $0,724$ (à la calculatrice).

2. d. "Plus d'un" signifie $X > 1$, soit $X \geq 2$.
$P\left( X > 1 \right) = 1 - P\left( X \leq 1 \right) = 1 - \left[ P\left( X=0 \right) + P\left( X=1 \right) \right]$.
On trouve $P\left( X > 1 \right) \approx 1 - 0,107 \approx $ $0,893$.

Exercice 3 : Épreuve de QCM

Un QCM comporte 20 questions. Pour chaque question, trois réponses sont possibles dont une seule exacte. Yannis répond au hasard à toutes les questions.

  1. Quelle est la loi suivie par $X$, le nombre de bonnes réponses ?
  2. Calculer les probabilités suivantes (arrondi à $0,0001$) :
    • Exactement 14 bonnes réponses.
    • Au moins 10 bonnes réponses.
    • Toutes les réponses exactes.
    • Aucune bonne réponse.
  3. Calculer $E\left( X \right)$ et interpréter.
  4. Barème : $1$ point par réponse exacte et $-0,5$ par erreur. Quelle note peut-il espérer ?

Corrigé détaillé de l'Exercice 3

1. On répète $n = 20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Succès $S$ : "Réponse juste", de probabilité $p = \dfrac{1}{3}$.
$X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left( 20 \ ; \ \dfrac{1}{3} \right)$.

2. a. $P\left( X = 14 \right) = \dbinom{20}{14} \times \left( \dfrac{1}{3} \right)^{14} \times \left( \dfrac{2}{3} \right)^{6} \approx $ $0,0005$.

2. b. $P\left( X \geq 10 \right) \approx $ $0,0919$ (calculatrice).

2. c. $P\left( X = 20 \right) = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{20} \approx $ $0,0000$.

2. d. $P\left( X = 0 \right) = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{20} \approx $ $0,0003$.

3. $E\left( X \right) = 20 \times \dfrac{1}{3} \approx $ $6,67$. Yannis peut espérer obtenir environ 7 bonnes réponses en cochant au hasard.

4. Soit $N$ la note obtenue. $N = X \times 1 + \left( 20 - X \right) \times \left( -0,5 \right) = X - 10 + 0,5X = 1,5X - 10$.
Par linéarité de l'espérance : $E\left( N \right) = 1,5 \times E\left( X \right) - 10 = 1,5 \times \dfrac{20}{3} - 10 = 10 - 10 = $ $0$.
Sa note espérée est donc de zéro.

Exercice 4 : Forages pétroliers

Une compagnie effectue 20 forages indépendants. La probabilité de trouver du pétrole est $0,3$ à chaque fois. $X$ donne le nombre de forages positifs.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier.
  2. Calculer la probabilité que dix forages soient positifs (arrondi au millième).
  3. Calculer la probabilité qu'au plus 2 forages soient positifs (arrondi au millième).
  4. Calculer et interpréter l'espérance de $X$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 4

1. Il s'agit d'un schéma de Bernoulli : on répète $n = 20$ fois de façon indépendante une épreuve à deux issues (succès $p = 0,3$).
Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left( 20 \ ; \ 0,3 \right)$.

2. $P\left( X = 10 \right) = \dbinom{20}{10} \times 0,3^{10} \times 0,7^{10} \approx $ $0,031$.

3. $P\left( X \leq 2 \right) = P\left( X=0 \right) + P\left( X=1 \right) + P\left( X=2 \right)$.
$P\left( X \leq 2 \right) \approx 0,0008 + 0,0068 + 0,0278 \approx $ $0,035$.

4. $E\left( X \right) = 20 \times 0,3 = $ $6$. Sur 20 forages, la compagnie peut espérer en moyenne trouver 6 gisements de pétrole.

Exercice 5 : Équipement informatique

Un lycée achète quinze ordinateurs. $2 \%$ des ordinateurs présentent un défaut. On assimile le choix des quinze ordinateurs à des tirages avec remise.

  1. Déterminer la probabilité qu'exactement 2 ordinateurs présentent un défaut.
  2. Déterminer la probabilité qu'au moins un ordinateur présente un défaut.

Corrigé détaillé de l'Exercice 5

Soit $X$ le nombre d'ordinateurs défectueux. $X \sim \mathcal{B}\left( 15 \ ; \ 0,02 \right)$.

1. $P\left( X = 2 \right) = \dbinom{15}{2} \times 0,02^{2} \times 0,98^{13} \approx 105 \times 0,0004 \times 0,769 \approx $ $0,0323$.

2. $P\left( X \geq 1 \right) = 1 - P\left( X = 0 \right) = 1 - 0,98^{15} \approx 1 - 0,7386 \approx $ $0,2614$.