La loi uniforme
Série d'entraînement : calculs de probabilités et espérance
Exercice 1 : Calculs fondamentaux
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $I = \left[ 2 ; 10 \right]$.
- Déterminer la fonction de densité $f$ de la variable aléatoire $X$.
- Calculer la probabilité $P\left( X \leq 5 \right)$.
- Calculer la probabilité $P\left( 4 \leq X \leq 7 \right)$.
- Calculer l'espérance mathématique $E\left( X \right)$.
Corrigé détaillé de l'Exercice 1
1. Pour une loi uniforme sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$, la fonction de densité $f$ est constante sur cet intervalle et définie par $f(x) = \dfrac{1}{b-a}$.
Ici $a = 2$ et $b = 10$, donc $f(x) = \dfrac{1}{10-2} = $ $\dfrac{1}{8}$.
2. $P\left( X \leq 5 \right) = P\left( 2 \leq X \leq 5 \right) = \dfrac{5-a}{b-a} = \dfrac{5-2}{10-2} = \dfrac{3}{8} = $ $0,375$.
3. $P\left( 4 \leq X \leq 7 \right) = \dfrac{7-4}{10-2} = \dfrac{3}{8} = $ $0,375$.
4. L'espérance d'une loi uniforme est donnée par la formule $E\left( X \right) = \dfrac{a+b}{2}$.
On a donc $E\left( X \right) = \dfrac{2+10}{2} = \dfrac{12}{2} = $ $6$.
Exercice 2 : Probabilités conditionnelles
On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[ 0 ; 60 \right]$.
- Calculer la probabilité que $X$ soit supérieur à 45 sachant que $X$ est supérieur à 20.
- Un bus passe toutes les 20 minutes. On modélise le temps d'attente $T$ par une loi uniforme sur $\left[ 0 ; 20 \right]$. Quelle est la probabilité que l'usager attende plus de 15 minutes sachant qu'il attend déjà depuis 5 minutes ?
Corrigé détaillé de l'Exercice 2
1. On cherche à calculer la probabilité conditionnelle $P_{X \geq 20}\left( X \geq 45 \right)$.
Par définition, nous avons la formule suivante :
$P_{X \geq 20}\left( X \geq 45 \right) = \dfrac{P\left( \left( X \geq 45 \right) \cap \left( X \geq 20 \right) \right)}{P\left( X \geq 20 \right)} = \dfrac{P\left( X \geq 45 \right)}{P\left( X \geq 20 \right)}$.
Calculons chacune des probabilités séparément sur l'intervalle $\left[ 0 ; 60 \right]$ :
- $P\left( X \geq 45 \right) = P\left( 45 \leq X \leq 60 \right) = \dfrac{60-45}{60-0} = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}$.
- $P\left( X \geq 20 \right) = P\left( 20 \leq X \leq 60 \right) = \dfrac{60-20}{60-0} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$.
On obtient donc le rapport suivant :
$P_{X \geq 20}\left( X \geq 45 \right) = \dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{2} = $ $\dfrac{3}{8}$.
2. On cherche à calculer la probabilité $P_{T \geq 5}\left( T \geq 15 \right) = \dfrac{P\left( \left( T \geq 15 \right) \cap \left( T \geq 5 \right) \right)}{P\left( T \geq 5 \right)} = \dfrac{P\left( T \geq 15 \right)}{P\left( T \geq 5 \right)}$.
Calculons ces probabilités pour la variable $T$ définie sur l'intervalle $\left[ 0 ; 20 \right]$ :
- $P\left( T \geq 15 \right) = \dfrac{20-15}{20} = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$.
- $P\left( T \geq 5 \right) = \dfrac{20-5}{20} = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}$.
Le résultat final est donc le quotient :
$\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{3} = $ $\dfrac{1}{3}$.
Exercice 3 : Détermination des paramètres
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$.
On sait que l'espérance $E\left( X \right) = 7$ et que $P\left( X \leq 6 \right) = \dfrac{1}{4}$.
Déterminer les valeurs réelles de $a$ et $b$.
Corrigé détaillé de l'Exercice 3
Utilisons les définitions du cours pour poser un système d'équations :
1. L'espérance est $E\left( X \right) = \dfrac{a+b}{2} = 7$, donc $a + b = 14$.
2. La probabilité est $P\left( X \leq 6 \right) = \dfrac{6-a}{b-a} = \dfrac{1}{4}$, donc $4\left( 6-a \right) = b-a$ donc $24 - 4a = b - a$ donc $b + 3a = 24$.
Résolvons le système par soustraction membre à membre :
$\left( b+3a \right) - \left( a+b \right) = 24 - 14$, donc $2a = 10$, donc $a = 5$.
En remplaçant $a$ dans la première équation : $5 + b = 14$, donc $b = 9$.
L'intervalle de définition est donc $\left[ 5 ; 9 \right]$.
Exercice 4 : Fonction de répartition
Soit $X \sim \mathcal{U}\left( \left[ 2 ; 6 \right] \right)$. On appelle $F$ la fonction de répartition de $X$.
- Donner l'expression de $F\left( x \right)$ selon la position de $x$ sur $\mathbb{R}$.
- Dresser le tableau de variations de $F$.
Corrigé détaillé de l'Exercice 4
1. Expression de $F\left( x \right) = P\left( X \leq x \right)$ :
- Si $x < 2$ : $F\left( x \right) = 0$.
- Si $2 \leq x \leq 6$ : $F\left( x \right) = \dfrac{x-2}{6-2} = \dfrac{x-2}{4} = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2}$.
- Si $x > 6$ : $F\left( x \right) = 1$.
2. Tableau de variations :
La fonction $F$ est croissante de 0 vers 1 sur son domaine de définition.
La fonction $F$ est continue et croissante sur $\mathbb{R}$.