Continuité et TVI

1. $ f(1) = 3 $ et $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 3 $. La fonction est continue.

2. En $ x = 2 $, $ g(2)=7 $ et $\lim\limits_{x \to 2^+} g(x) = 8 $. Saut de 1 : discontinue.

3. $ f(0)=1 $ et $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=1 $. continue.

4. $ f(-1)=3 $ et $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x)=3 $. continue.

5. $ f(5)=3 $ et $\lim\limits_{x \to 5^+} f(x)=3 $. continue.

1. On veut $ 4(2)-1 = 2+a $, donc $ 7 = 2+a $, donc $ a = 5 $.

2. On veut $ 3^2+k = 10 $, donc $ 9+k = 10 $, donc $ k = 1 $.

3. On veut $ \dfrac{6}{2} = 2m $, donc $ 3 = 2m $, donc $ m = 1,5 $.

4. On veut $ a+5 = 2a $, donc $ a = 5 $. Résultat : $ a = 5 $.

5. $ \cos(0)=1 $, donc $ b = 1 $.

1. Étude de $ f(x) = x^3 + x - 1 $ sur $[0;1]$ :

Dérivée : $ f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 $. La fonction $ f $ est donc strictement croissante.

Rédaction TVI : La fonction $ f $ est continue sur l'intervalle $[0;1]$. Sa dérivée est positive donc elle y est strictement croissante. Comme $ 0 $ est compris entre $ f(0)=-1 $ et $ f(1)=1 $, d'après le TVI, l'équation admet une unique solution $ \alpha $ dans l'intervalle $[0;1]$. Approximation : $ \alpha \approx 0,68 $.

2. Étude de $ f(x) = x^3 + 3x^2 - 5 $ sur $[1;2]$ :

Dérivée : $ f'(x) = 3x^2 + 6x > 0 $ sur $[1;2]$. La fonction $ f $ est donc strictement croissante.

Rédaction TVI : La fonction $ f $ est continue sur l'intervalle $[1;2]$. Sa dérivée est positive donc elle y est strictement croissante. Comme $ 0 $ est compris entre $ f(1)=-1 $ et $ f(2)=15 $, d'après le TVI, l'équation admet une unique solution $ \alpha $ dans l'intervalle $[1;2]$. Approximation : $ \alpha \approx 1,10 $.

3. Étude de $ f(x) = x^2 - \dfrac{2}{x} $ sur $[1;2]$ :

Dérivée : $ f'(x) = 2x + \dfrac{2}{x^2} > 0 $ sur $[1;2]$. La fonction $ f $ est donc strictement croissante.

Rédaction TVI : La fonction $ f $ est continue sur l'intervalle $[1;2]$. Sa dérivée est positive donc elle y est strictement croissante. Comme $ 0 $ est compris entre $ f(1)=-1 $ et $ f(2)=3 $, d'après le TVI, l'équation admet une unique solution $ \alpha $ dans l'intervalle $[1;2]$. Approximation : $ \alpha \approx 1,26 $.

4. Étude de $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1 $ sur $[1,5;2]$ :

Dérivée : $ f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1) > 0 $ sur $[1,5;2]$. La fonction $ f $ est donc strictement croissante.

Rédaction TVI : La fonction $ f $ est continue sur l'intervalle $[1,5;2]$. Sa dérivée est positive donc elle y est strictement croissante. Comme $ 0 $ est compris entre $ f(1,5)=-1 $ et $ f(2)=3 $, d'après le TVI, l'équation admet une unique solution $ \alpha $ dans l'intervalle $[1,5;2]$. Approximation : $ \alpha \approx 1,68 $.

5. Étude de $ f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + x - 2 $ sur $[1;2]$ :

Dérivée : $ f'(x) = x^2 + 1 > 0 $. La fonction $ f $ est donc strictement croissante.

Rédaction TVI : La fonction $ f $ est continue sur l'intervalle $[1;2]$. Sa dérivée est positive donc elle y est strictement croissante. Comme $ 0 $ est compris entre $ f(1)=-\dfrac{2}{3}$ et $ f(2)=\dfrac{8}{3}$, d'après le TVI, l'équation admet une unique solution $ \alpha $ dans l'intervalle $[1;2]$. Approximation : $ \alpha \approx 1,36 $.

1. Étude de $ f(x) = x^3 + 3x - 1 $ sur $\mathbb{R}$ :

Dérivée : $ f'(x) = 3x^2 + 3 > 0 $.

Limites : $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Rédaction : $ f $ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $ 0 $ est compris entre les limites aux infinis, d'après le TVI, l'équation admet une unique solution réelle $ \alpha \approx 0,32$.

1. Étude de $ f(x) = x^3 - 3x $ sur $[1,2]$ :

Dérivée : $ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) \geq 0 $ sur $[1,2]$.

Rédaction TVI : La fonction $ f $ est continue sur $[1,2]$. Sa dérivée est positive donc elle est strictement croissante sur $[1,2]$. De plus, $ 1 $ est compris entre $ f(1)=-2 $ et $ f(2)=2 $. D'après le TVI, l'équation $ f(x)=1 $ admet une solution unique $ \alpha \approx 1,88$.

2. Étude de $ f(x) = x^4 - 2x^2 $ sur $[1, +\infty[$ :

Dérivée : $ f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2-1) \geq 0 $ pour $ x \geq 1 $.

Limites/Images : $ f(1) = -1 $ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Rédaction : $ f $ est continue et strictement croissante sur $[1; +\infty[$. Comme $ 5 \in [-1; +\infty[ $, par le TVI, l'équation $ f(x)=5 $ possède une unique solution réelle $ \alpha \approx 1,72$.

3. Étude de $ f(x) = \sqrt{x} + x $ sur $[0;10]$ :

Dérivée : $ f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 1 > 0 $ pour $ x \in ]0;10]$.

Rédaction : $ f $ est continue et strictement croissante sur $[0;10]$. On a $ f(0)=0 $ et $ f(10) \approx 13,16 $. Comme $ 10 \in [0; 13,16]$, par le TVI, l'équation admet une unique solution $ \alpha \approx 7,30$.

4. Étude de $ f(x) = \dfrac{x-1}{x+1} $ sur $]-1; +\infty[$ :

Dérivée : $ f'(x) = \dfrac{2}{(x+1)^2} > 0 $.

Limites : $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$.

Rédaction : $ f $ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $ ]-1 ; +\infty[ $. Comme $ 0,5 \in ]-\infty ; 1[ $, d'après le TVI, l'équation $ f(x)=0,5 $ admet une unique solution ($\alpha = 3$).

5. Étude de $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x $ sur $\mathbb{R}$ :

Dérivée : $ f'(x) = 3(x-1)^2 \geq 0 $.

Limites : $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Rédaction : $ f $ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme l'intervalle image est $\mathbb{R}$ et $ 10 \in \mathbb{R} $, par le TVI, l'équation $ f(x)=10 $ admet une unique solution $ \alpha \approx 3,15$.