Limites de Fonctions

On utilise la règle du terme de plus haut degré en l'infini.

1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} -3x^3 = -\infty\). Donc \(-\infty\).

2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} 2x^4 = +\infty\). Donc \(+\infty\).

3. \(\lim\limits_{x \to -\infty} -x^5 = -(-\infty) = +\infty\). Donc \(+\infty\).

4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2}x^2 = +\infty\). Donc \(+\infty\).

5. Le terme de plus haut degré est \(x \times x \times (-x) = -x^3\).
\(\lim\limits_{x \to -\infty} -x^3 = -(-\infty) = +\infty\). Donc \(+\infty\).

1. Rapport des plus hauts degrés : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4x^2}{2x^2} = 2\). Résultat : \(2\).

2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x^3}{x^2} = \lim\limits_{x \to -\infty} x = -\infty\). Résultat : \(-\infty\).

3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{10x}{x^2} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{10}{x} = 0\). Résultat : \(0\).

4. Forme \(\dfrac{0}{0}\). \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\). \(\lim\limits_{x \to 2} (x+2) = 4\). Résultat : \(4\).

5. Forme \(\dfrac{0}{0}\). On factorise le numérateur : \(x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)\).
\(\dfrac{(x+1)(x+2)}{x+1} = x+2\). \(\lim\limits_{x \to -1} (x+2) = 1\). Résultat : \(1\).

1. Par l'expression conjuguée : \(\dfrac{\left( \sqrt{x^2+1}-x \right) \left( \sqrt{x^2+1}+x \right)}{\sqrt{x^2+1}+x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\).
Comme le dénominateur tend vers \(+\infty\), par inverse : \(0\).

2. \(\dfrac{\left( \sqrt{x+4}-\sqrt{x} \right) \left( \sqrt{x+4}+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}} = \dfrac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}\).
Comme le dénominateur tend vers \(+\infty\), par inverse : \(0\).

3. \(\dfrac{\left( \sqrt{x+1}-1 \right) \left( \sqrt{x+1}+1 \right)}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)} = \dfrac{x}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\).
En \(x = 0\), on a \(\dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}\). Résultat : \(\dfrac{1}{2}\).

4. Pour \(x > 0\), \(\dfrac{\sqrt{x^2 \left( 1+\dfrac{2}{x^2} \right)}}{x} = \dfrac{x\sqrt{1+\dfrac{2}{x^2}}}{x} = \sqrt{1+\dfrac{2}{x^2}}\).
Comme \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x^2} = 0\), on a \(1\).

5. Par l'expression conjuguée : \(\dfrac{\left( 4x^2+x \right)-4x^2}{\sqrt{4x^2+x}+2x} = \dfrac{x}{x\left( \sqrt{4+\dfrac{1}{x}}+2 \right)} = \dfrac{1}{\sqrt{4+\dfrac{1}{x}}+2}\).
En \(+\infty\), cela tend vers \(\dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{4}\). Résultat : \(\dfrac{1}{4}\).

1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x^2-3x \right) = +\infty\). Par comparaison, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. \(-x+\cos(x) \leq -x+1\). Or \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left( -x+1 \right) = -\infty\). Par comparaison, \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\).

3. \(x+\sin(x) \geq x-1\). Comme \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x-1 \right) = +\infty\), alors \(\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = +\infty\).

4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\). Par comparaison, \(+\infty\).

5. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} -2x = -\infty\). Par comparaison, \(-\infty\).

1. \(-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin(x)}{x} \leq \dfrac{1}{x}\). Les deux bornes tendent vers \(0\). Résultat : \(0\).

2. \(-\dfrac{1}{x^2+1} \leq \dfrac{\cos(2x)}{x^2+1} \leq \dfrac{1}{x^2+1}\). Les deux bornes tendent vers \(0\). Résultat : \(0\).

3. \(\dfrac{3x-1}{x} \leq f(x) \leq \dfrac{3x+1}{x}\). Or \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x-1}{x} = 3\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x+1}{x} = 3\). Résultat : \(3\).

4. \(-\dfrac{1}{x^3} \leq \dfrac{(-1)^n}{x^3} \leq \dfrac{1}{x^3}\). Les deux bornes tendent vers \(0\). Résultat : \(0\).

5. \(\dfrac{2x^2-1}{x^2-1} \leq f(x) \leq \dfrac{2x^2+1}{x^2-1}\). Or \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2-1}{x^2-1} = 2\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2+1}{x^2-1} = 2\). Résultat : \(2\).