Suites Arithmético-Géométriques

1. Recherche du point fixe : $\alpha = \dfrac{1}{3}\alpha + 4 \text{ donc } \dfrac{2}{3}\alpha = 4 \text{ donc } \alpha = \dfrac{12}{2} = 6$.

2. Nature de $\left(v_n\right)$ : $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{3}u_n + 4 - 6 = \dfrac{1}{3}u_n - 2$.
On factorise par la raison : $v_{n+1} = \dfrac{1}{3}\left(u_n - 6\right) = \dfrac{1}{3}v_n$.
donc $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = \dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 6 = 2 - 6 = -4$.

3. Terme général : $v_n = v_0 \times q^n = -4 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
Comme $u_n = v_n + 6$, on a $u_n = -4 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$ .

4. Limite : Comme $-1 < \dfrac{1}{3} < 1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0$.
donc par somme, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 6$ .

1. Modélisation : Conserver 75 % revient à multiplier par $0,75$. Gagner 400 abonnés revient à ajouter 400. donc $a_{n+1} = 0,75a_n + 400$.

2. Terme général : $v_n$ est géométrique de raison $q = 0,75$ et $v_0 = 1\,000 - 1\,600 = -600$.
$v_n = -600 \times 0,75^n$ donc $a_n = -600 \times 0,75^n + 1\,600$ .

3. Seuil : On cherche $n$ tel que $a_n > 1\,550$.
$1\,600 - 600 \times 0,75^n > 1\,550 \text{ donc } 50 > 600 \times 0,75^n \text{ donc } \dfrac{50}{600} > 0,75^n \text{ donc } \dfrac{1}{12} > 0,75^n$.
Par essais successifs à la calculatrice : $0,75^8 \approx 0,10$ et $0,75^9 \approx 0,075$.
donc $n=9$ . À partir de $2024+9 = 2033$.

1. Point fixe : $\alpha = 1,2\alpha - 2\,000 \text{ donc } 0,2\alpha = 2\,000 \text{ donc } \alpha = 10\,000$.

2. Terme général : $v_n = p_n - 10\,000$ est géométrique de raison $1,2$.
$v_0 = 5\,000 - 10\,000 = -5\,000$.
donc $p_n = -5\,000 \times 1,2^n + 10\,000$ .

3. Limite : Comme $1,2 > 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,2^n = +\infty$.
donc $\lim\limits_{n \to +\infty} -5\,000 \times 1,2^n = -\infty$.
donc $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n = -\infty$ . La population finit par s'éteindre.

1. Nature : $v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 3 + 3 = 2(u_n + 3) = 2v_n$. raison $2$, $v_0 = 4$.

2. Terme général : $v_n = 4 \times 2^n$ donc $u_n = 4 \times 2^n - 3$ .

3. Somme : $S_n = \sum_{k=0}^{n} \left(4 \times 2^k - 3\right) = 4 \sum_{k=0}^{n} 2^k - \sum_{k=0}^{n} 3$.
$S_n = 4 \times \dfrac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2} - 3(n+1) = 4(2^{n+1} - 1) - 3n - 3$.
$S_n = 4 \times 2^{n+1} - 3n - 7$ .

1. Point fixe : $\alpha = \dfrac{2}{5}\alpha + \dfrac{6}{5} \text{ donc } \dfrac{3}{5}\alpha = \dfrac{6}{5} \text{ donc } \alpha = 2$.
donc $v_n = u_n - 2$ est géométrique de raison $q = \dfrac{2}{5}$ et $v_0 = 3$.

2. Expression : $u_n = 3 \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n + 2$ .

3. Convergence : Comme $\left|\dfrac{2}{5}\right| < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 0$.
La suite est convergente vers $2$ .