ÉVALUATION DE MATHÉMATIQUES

1. Résolution de l'équation $\ln(2x+1) = 0$
Existence : Il faut que $2x + 1 > 0 \iff 2x > -1 \iff x > -\dfrac{1}{2}$.
L'ensemble de définition est donc $D = \left] -\dfrac{1}{2} ; +\infty \right[$.
Résolution : Pour tout $x \in D$ :
$\ln(2x+1) = 0 \iff 2x+1 = e^0 \iff 2x+1 = 1 \iff 2x = 0 \iff x = 0$.
On vérifie que $0 \in D$ (car $0 > -0,5$).
$S = \{ 0 \}$.

2. Résolution de l'inéquation $e^{3x+1} \le 1$
La fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$.
$e^{3x+1} \le 1 \iff 3x+1 \le \ln(1)$ (car $\ln$ est croissante sur $]0;+\infty[$)
$3x+1 \le 0 \iff 3x \le -1 \iff x \le -\dfrac{1}{3}$.
$S = \left] -\infty ; -\dfrac{1}{3} \right]$.

1. Limites aux bornes
• En $-1^+$ :
$\lim\limits_{x \to -1^+} (x^2 - x + 2) = (-1)^2 - (-1) + 2 = 4$.
Pour la limite du logarithme, étudions le signe de $x+1$ :
$$ \begin{array}{|c|lccr|} \hline x & -1 & & & +\infty \\ \hline x+1 & 0 & & + & \\ \hline \end{array} $$ Comme $x \to -1$ avec $x > -1$, on a $x+1 \to 0^+$.
Or $\lim\limits_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty$.
Par somme : $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$.
• En $+\infty$ :
$\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - x + 2) = \lim\limits_{x \to +\infty} x^2(1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}) = +\infty$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x+1) = +\infty$.
Par somme : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

2. Étude de la dérivée
a) $f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables.
$f'(x) = 2x - 1 + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(2x-1)(x+1) + 1}{x+1} = \dfrac{2x^2 + 2x - x - 1 + 1}{x+1}$.
On obtient bien : $f'(x) = \dfrac{2x^2 + x}{x+1}.$
b) Sur $\left] -1 ; +\infty \right[$, $x+1 > 0$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc du numérateur $2x^2 + x = x(2x+1)$.
Les racines sont $x=0$ et $x=-\dfrac{1}{2}$.
$$ \begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x & -1 & & -\frac{1}{2} & & 0 & & +\infty \\ \hline 2x^2+x & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline x+1 & 0 & + & | & + & | & + & \\ \hline f'(x) & \| & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} $$

3. Tableau de variations
Calcul des images :
$f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 - \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2 + \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{11}{4} - \ln(2)$.
$f(0) = 0^2 - 0 + 2 + \ln(1) = 2$.
$$ \begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x & -1 & & & -\frac{1}{2} & & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \| & & + & 0 & & - & 0 & + & \\ \hline & \| & & & \frac{11}{4}-\ln 2 & & & & & +\infty \\ f(x) & \| & & \nearrow & & \searrow & & & \nearrow & \\ & \| & -\infty & & & & & 2 & & \\ \hline \end{array} $$

4. Théorème des valeurs intermédiaires
a) Sur $[0 ; +\infty[$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
$f(0) = 2$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
Or $10 \in [2 ; +\infty[$.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0 ; +\infty[$.

b) À la calculatrice, on trouve : $\alpha \approx 3,11$.

5. Tangente
L'équation de la tangente $(T)$ en $1$ est $y = f'(1)(x-1) + f(1)$.
$f'(1) = \dfrac{2(1)^2+1}{1+1} = \dfrac{3}{2}$.
$f(1) = 1^2 - 1 + 2 + \ln(2) = 2 + \ln(2)$.
$y = \dfrac{3}{2}(x-1) + 2 + \ln(2) = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2} + 2 + \ln(2)$.
$(T) : y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} + \ln(2)$.