D.S de MATHÉMATIQUES

1) $\lim\limits_{x\to+\infty}(2x^{3}-5x^{2}+1) = \lim\limits_{x\to+\infty}x^{3}(2-\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{3}})$.
On a $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{3} = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}(2-\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}) = 2-0+0=2$.
Par produit des limites, le résultat est $+\infty$.

2) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3x^{2}-1}{x^{3}+2x} = \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^{2}(3-\dfrac{1}{x^{2}})}{x^{3}(1+\dfrac{2}{x^{2}})} = \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x} \times \dfrac{3-\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{2}{x^{2}}}$.
On a $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x} = 0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3-\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{2}{x^{2}}} = \dfrac{3-0}{1+0}=3$.
Par produit des limites ($0 \times 3$), le résultat est $0$.

3) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-5x^{4}+2x^{2}-1}{2x^{4}-3x+7} = \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{4}(-5+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{4}})}{x^{4}(2-\dfrac{3}{x^{3}}+\dfrac{7}{x^{4}})} = \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-5+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{4}}}{2-\dfrac{3}{x^{3}}+\dfrac{7}{x^{4}}}$.
Le numérateur tend vers -5 et le dénominateur tend vers 2.
Par quotient des limites, le résultat est $-\dfrac{5}{2}$.

Pour les questions 4 et 5, étudions d'abord le signe du dénominateur :
Soit $D(x)=x^{2}-5x+4$. C'est un polynôme du second degré.
$\Delta = (-5)^{2}-4(1)(4) = 25-16=9 > 0$.
Il y a deux racines : $x_{1}=\dfrac{5-3}{2}=1$ et $x_{2}=\dfrac{5-3}{2}=4$.
Le polynôme est du signe de $a=1$ (positif) à l'extérieur des racines.

4) $\lim\limits_{x\to1^{+}}\dfrac{3x+2}{x^{2}-5x+4}$
Limite du numérateur : $\lim\limits_{x\to1^{+}}(3x+2) = 5$ (positif).
Limite du dénominateur : D'après le tableau de signe, quand $x\to1^{+}$, $D(x)$ est négatif. Donc $\lim\limits_{x\to1^{+}}D(x)=0^{-}$.
Par quotient des limites : $\dfrac{5}{0^{-}} = $ $-\infty$.

5) $\lim\limits_{x\to4^{-}}\dfrac{3x+2}{x^{2}-5x+4}$
Limite du numérateur : $\lim\limits_{x\to4^{-}}(3x+2) = 3(4)+2=14$ (positif).
Limite du dénominateur : D'après le tableau de signe, quand $x\to4^{-}$, $D(x)$ est négatif. Donc $\lim\limits_{x\to4^{-}}D(x)=0^{-}$.
Par quotient des limites : $\dfrac{14}{0^{-}} = $ $-\infty$.

1) Limites et interprétations graphiques
Limites en $\pm\infty$ :
$\lim\limits_{x\to+\infty}g(x) = \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x(2-\dfrac{1}{x})}{x(1+\dfrac{3}{x})} = \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{3}{x}} = \dfrac{2-0}{1+0} = 2$.
De même, $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x) = 2$.
Interprétation : La droite d'équation $y=2$ est une asymptote horizontale à $(\mathcal{C}_{g})$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Limites en $-3$ :
$\lim\limits_{x\to-3}(2x-1) = 2(-3)-1 = -7$.
$\lim\limits_{x\to-3^{-}}(x+3) = 0^{-}$. Par quotient, $\lim\limits_{x\to-3^{-}}g(x) = \dfrac{-7}{0^{-}} = +\infty$.
$\lim\limits_{x\to-3^{+}}(x+3) = 0^{+}$. Par quotient, $\lim\limits_{x\to-3^{+}}g(x) = \dfrac{-7}{0^{+}} = -\infty$.
Interprétation : La droite d'équation $x=-3$ est une asymptote verticale à $(\mathcal{C}_{g})$.

2) Calcul et signe de la dérivée
La fonction $g$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x+3$.
On a $u^{\prime}(x)=2$ et $v^{\prime}(x)=1$.
$g^{\prime}(x) = \dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}} = \dfrac{2(x+3)-(2x-1)(1)}{(x+3)^{2}}$
$g^{\prime}(x) = \dfrac{2x+6-2x+1}{(x+3)^{2}} = \dfrac{7}{(x+3)^{2}}$.
Étude de signe : Pour tout $x \in D_{g}$, $7 > 0$ (numérateur) et $(x+3)^{2} > 0$ (dénominateur car c'est un carré et $x \ne -3$).
Donc $g^{\prime}(x) > 0$ sur $]-\infty;-3[$ et sur $]-3;+\infty[$.

3) Tableau de variation complet

4) Équation de la tangente en $x=1$
L'équation de la tangente $T_{1}$ au point d'abscisse $a=1$ est $y = g^{\prime}(1)(x-1)+g(1)$.
Calcul de $g(1) : g(1)=\dfrac{2(1)-1}{1+3} = \dfrac{1}{4}$.
Calcul de $g^{\prime}(1) : g^{\prime}(1)=\dfrac{7}{(1+3)^{2}} = \dfrac{7}{4^{2}} = \dfrac{7}{16}$.
Équation : $y = \dfrac{7}{16}(x-1) + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{16}x - \dfrac{7}{16} + \dfrac{4}{16} = \dfrac{7}{16}x - \dfrac{3}{16}$.
L'équation réduite de la tangente est $y=\dfrac{7}{16}x-\dfrac{3}{16}$.