D.S de MATHÉMATIQUES

1) Suite $(u_n)$
On a $\lim\limits_{n\to+\infty} -3n^3 = -\infty$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$.
Par somme des limites, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = -\infty$.

2) Suite $(v_n)$
On a une forme indéterminée "$\frac{\infty}{\infty}$". On factorise par le terme de plus haut degré :
$v_n = \frac{n^2(2-\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2})}{n^2(3+\frac{5}{n^2})} = \frac{2-\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2}}{3+\frac{5}{n^2}}$
$\lim\limits_{n\to+\infty} (2-\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2}) = 2$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} (3+\frac{5}{n^2}) = 3$.
Par quotient des limites, $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = \frac{2}{3}$.

3) Suite $(w_n)$
On a une forme indéterminée "$\infty - \infty$". On factorise par le terme de plus haut degré :
$w_n = n^4(1 - \frac{2}{n^2})$
$\lim\limits_{n\to+\infty} n^4 = +\infty$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} (1 - \frac{2}{n^2}) = 1$.
Par produit des limites, $\lim\limits_{n\to+\infty} w_n = +\infty$.

1) Calcul de la raison $q$ et de $u_0$
Pour une suite géométrique, on a la formule $u_n = u_p \times q^{n-p}$.
Avec $n=4$ et $p=2$, on a $u_4 = u_2 \times q^{4-2}$ donc $3 = 12 \times q^2$.
$q^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Comme $q$ est positif, $q = \frac{1}{2}$.
On a $u_2 = u_0 \times q^2$ donc $12 = u_0 \times (\frac{1}{2})^2 = u_0 \times \frac{1}{4}$.
Donc $u_0 = 12 \times 4 = 48$.

2) Terme général $u_n$
La formule du terme général est $u_n = u_0 \times q^n$.
$u_n = 48 \times (\frac{1}{2})^n$.

3) Limite de $(u_n)$
La raison est $q = \frac{1}{2}$. Comme $-1 < q < 1$, la suite $(q^n)$ converge vers 0.
Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 0$.

1) Expression de $u_n$
La relation $u_{n+1}=u_n+5$ montre que $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=5$.
Son premier terme est $u_0=2$.
Le terme général est $u_n = u_0 + nr$.
$u_n = 2 + 5n$.

2) Limite de $(u_n)$
On a $\lim\limits_{n\to+\infty} 5n = +\infty$.
Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

1) Nature de la suite $(v_n)$
On calcule les premiers termes de la suite $(v_n)$.
$v_0 = u_0 - 6 = 10 - 6 = 4$.
$u_1 = \frac{1}{2}u_0 + 3 = \frac{1}{2}(10) + 3 = 8$.
$v_1 = u_1 - 6 = 8 - 6 = 2$.
On calcule le rapport des premiers termes pour trouver la raison potentielle $q$.
On pose $q = \frac{v_1}{v_0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Maintenant, on vérifie que $v_{n+1} - q \cdot v_n = 0$ pour tout $n$.
$v_{n+1} - \frac{1}{2}v_n = (u_{n+1} - 6) - \frac{1}{2}(u_n - 6)$
$= (\frac{1}{2}u_n + 3 - 6) - \frac{1}{2}u_n + 3$
$= \frac{1}{2}u_n - 3 - \frac{1}{2}u_n + 3 = 0$.
La relation est vérifiée pour tout $n$.
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=4$.

2) Expressions de $v_n$ et $u_n$
L'expression de $v_n$ en fonction de $n$ est $v_n = v_0 \times q^n$, soit $v_n = 4 \times (\frac{1}{2})^n$.
Comme $u_n = v_n + 6$, on en déduit que $u_n = 4 \times (\frac{1}{2})^n + 6$.