D.S de MATHÉMATIQUES

1) Suite $(v_n)$
La suite est définie par la relation de récurrence $v_{n+1} = v_n - \frac{1}{2}$. C'est la définition par récurrence d'une suite arithmétique de la forme $v_{n+1} = v_n + r$.
Par identification directe, c'est une suite arithmétique de raison $r = -\frac{1}{2}$.

2) Suite $(u_n)$
La suite est définie par son terme général $u_n = -2n + 1$. C'est de la forme $u_n = an + b$, qui est une caractéristique du terme général d'une suite arithmétique.
Par identification directe, la raison est le coefficient de $n$. C'est une suite arithmétique de raison $r = -2$.

3) Suite $(w_n)$ (nommée $u_n$ dans l'énoncé, renommée pour éviter la confusion)
On calcule les premiers termes :
$w_1 = \sqrt{1} + 1 = 2$
$w_2 = \sqrt{2} + 1$
$w_3 = \sqrt{3} + 1$
On calcule les différences :
$w_2 - w_1 = (\sqrt{2} + 1) - 2 = \sqrt{2} - 1$.
$w_3 - w_2 = (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{2} + 1) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
Comme $\sqrt{2} - 1 \neq \sqrt{3} - \sqrt{2}$, la différence n'est pas constante. Ce n'est pas une suite arithmétique.

1) Calcul de la raison $r$
Pour une suite arithmétique, on a la formule $u_p = u_k + (p-k)r$.
Avec $p=5$ et $k=2$, on a $u_5 = u_2 + (5-2)r$.
$-5 = 2 + 3r$
$-7 = 3r$
$r = -\frac{7}{3}$.

2) Terme général $u_n$
La formule du terme général est $u_n = u_k + (n-k)r$.
En utilisant $k=2$, on obtient $u_n = u_2 + (n-2)r$.
$u_n = 2 + (n-2)(-\frac{7}{3}) = 2 - \frac{7}{3}n + \frac{14}{3} = \frac{6}{3} + \frac{14}{3} - \frac{7}{3}n$
$u_n = \frac{20 - 7n}{3}$.

3) Calcul de $u_4$
On utilise la formule trouvée :
$u_4 = \frac{20 - 7 \times 4}{3} = \frac{20 - 28}{3} = \frac{-8}{3}$.
Ou bien, $u_4 = u_2 + (4-2)r = 2 + 2(-\frac{7}{3}) = 2 - \frac{14}{3} = \frac{6-14}{3} = -\frac{8}{3}$.
$u_4 = -\frac{8}{3}$.

1) Suite $(u_n)$
Pour déterminer si la suite est géométrique, on peut calculer les premiers termes et comparer les rapports.
$u_1 = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$
$u_2 = \frac{3}{2} \times 2 = 3$
$u_3 = \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{2}$
On calcule les rapports des termes consécutifs :
$\frac{u_2}{u_1} = \frac{3}{3/2} = 2$
$\frac{u_3}{u_2} = \frac{9/2}{3} = \frac{3}{2}$
Comme les rapports ne sont pas égaux ($2 \neq \frac{3}{2}$), la suite n'est pas géométrique.
Ce n'est pas une suite géométrique.

2) Suite $(v_n)$
On calcule le rapport des premiers termes pour trouver la raison potentielle q.
$v_0 = -3 \times 5^0 = -3$
$v_1 = -3 \times 5^1 = -15$
$q = \frac{v_1}{v_0} = \frac{-15}{-3} = 5$.
Maintenant, on vérifie si $v_{n+1} - 5v_n = 0$ pour tout n.
$v_{n+1} - 5v_n = (-3 \times 5^{n+1}) - 5 \times (-3 \times 5^n)$
$= -3 \times 5^{n+1} + 3 \times 5^{n+1}$
$= 0$.
La relation est vérifiée pour tout n.
C'est une suite géométrique de raison $q=5$.

1) Calcul de la raison $q$
Pour une suite géométrique, $v_1 = v_0 \times q$.
$\frac{10}{3} = 2 \times q$
$q = \frac{10}{3} \div 2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
$q = \frac{5}{3}$.

2) Terme général $v_n$
La formule du terme général est $v_n = v_0 \times q^n$.
$v_n = 2 \times (\frac{5}{3})^n$.

3) Calcul de $v_4$
On utilise la formule du terme général :
$v_4 = 2 \times (\frac{5}{3})^4 = 2 \times \frac{5^4}{3^4} = 2 \times \frac{625}{81} = \frac{1250}{81}$.
$v_4 = \frac{1250}{81}$.