DS01 Corrigé : Suites Arithmétiques et Géométriques

Exercice 1 : Reconnaître une suite arithmétique (4,5 pts)

Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques. Pour les suites arithmétiques, préciser la raison.

$\begin{cases}v_{0}=2 \\ v_{n+1}=v_{n}-\dfrac{1}{2}\end{cases}$, pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=-2n+1$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}=\sqrt{n}+1$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 1

1. La relation de récurrence est de la forme $v_{n+1} = v_n + r$ avec $r = -\dfrac{1}{2}$.
C'est donc une suite arithmétique de raison $r = -\dfrac{1}{2}$.

2. L'expression est de la forme explicite $u_n = an+b$ avec $a=-2$ et $b=1$.
Pour tout entier $n$, calculons la différence $u_{n+1} - u_n$ :
$u_{n+1} - u_n = \left[-2(n+1)+1\right] - (-2n+1) = -2n - 2 + 1 + 2n - 1 = -2$.
La différence est constante, donc c'est une suite arithmétique de raison $r = -2$.

3. Calculons les premiers termes pour vérifier si la différence est constante.
$u_1 = \sqrt{1}+1 = 2$.
$u_2 = \sqrt{2}+1 \approx 2,41$.
$u_3 = \sqrt{3}+1 \approx 2,73$.
Calculons les différences :
$u_2 - u_1 = \sqrt{2}+1 - 2 = \sqrt{2}-1$.
$u_3 - u_2 = \sqrt{3}+1 - (\sqrt{2}+1) = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
Comme $u_2 - u_1 \neq u_3 - u_2$, la suite n'est pas arithmétique.

Exercice 2 : Suite arithmétique (4,5 pts)

On considère une suite arithmétique $(u_{n})$ de premier terme $u_{0}$ telle que $u_{2}=2$ et $u_{5}=-5$.

Calculer la raison de la suite $(u_{n})$.
Exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n$.
Calculer $u_{4}$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 2

1. La suite $(u_n)$ est arithmétique, donc pour tous entiers $n$ et $p$, on a la relation $u_n = u_p + (n-p)r$.
Appliquons cette formule avec $n=5$ et $p=2$ :
$u_5 = u_2 + (5-2)r \iff -5 = 2 + 3r \iff 3r = -7 \iff r = -\dfrac{7}{3}$.
La raison est $r = -\dfrac{7}{3}$.

2. Pour exprimer $u_n$, nous avons besoin de $u_0$.
$u_2 = u_0 + 2r \iff 2 = u_0 + 2\times\left(-\dfrac{7}{3}\right) \iff 2 = u_0 - \dfrac{14}{3}$.
Donc $u_0 = 2 + \dfrac{14}{3} = \dfrac{6}{3} + \dfrac{14}{3} = \dfrac{20}{3}$.
L'expression générale est $u_n = u_0 + nr$, donc $u_n = \dfrac{20}{3} - \dfrac{7}{3}n$.

3. Utilisons l'expression trouvée précédemment pour $n=4$ :
$u_4 = \dfrac{20}{3} - \dfrac{7}{3} \times 4 = \dfrac{20}{3} - \dfrac{28}{3} = -\dfrac{8}{3}$.
On obtient $u_4 = -\dfrac{8}{3}$.

Exercice 3 : Reconnaître une suite géométrique (4 pts)

Les suites ci-dessous sont-elles géométriques ? (justifier). Si oui, donner leur raison.

$u_{n}=\dfrac{3}{2}n$
$v_{n}=-3\times5^{n}$

Corrigé détaillé de l'Exercice 3

1. Calculons les premiers termes : $u_1 = \dfrac{3}{2} \times 1 = \dfrac{3}{2}$ et $u_2 = \dfrac{3}{2} \times 2 = 3$.
Si la suite était géométrique, le rapport $\dfrac{u_2}{u_1}$ devrait être constant pour tout $n$.
Ici, $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{3}{1,5} = 2$.
Regardons le terme suivant : $u_3 = \dfrac{9}{2} = 4,5$. Le rapport $\dfrac{u_3}{u_2} = \dfrac{4,5}{3} = 1,5$.
Les rapports ne sont pas égaux, donc cette suite n'est pas géométrique.

2. L'expression est de la forme explicite $v_n = v_0 \times q^n$ avec $v_0 = -3$ et $q = 5$.
Pour tout entier $n$, calculons le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} :$
$\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{-3 \times 5^{n+1}}{-3 \times 5^n} = \dfrac{5^{n+1}}{5^n} = 5$.
Le rapport est constant, donc la suite est géométrique de raison $q = 5$.

Exercice 4 : Suite géométrique (7 pts)

On considère une suite géométrique $(v_{n})$ telle que $v_{0}=2$ et $v_{1}=\dfrac{10}{3}$.

Calculer la raison de la suite $(v_{n})$.
Exprimer le terme général $v_{n}$ en fonction de $n$.
Calculer $v_{4}$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 4

1. La suite étant géométrique, on a $v_1 = v_0 \times q$.
Ainsi, $q = \dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{\frac{10}{3}}{2} = \dfrac{10}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$.
La raison est $q = \dfrac{5}{3}$.

2. La forme explicite d'une suite géométrique est $v_n = v_0 \times q^n$.
On remplace par les valeurs trouvées : $v_n = 2 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^n$.

3. Calculons $v_4$ en utilisant la formule explicite :
$v_4 = 2 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^4 = 2 \times \dfrac{5^4}{3^4} = 2 \times \dfrac{625}{81}$.
On obtient $v_4 = \dfrac{1250}{81}$.