Exercice 1 : (6 points)
On donnera les valeurs exactes des probabilités, puis leurs valeurs approchées arrondies à 0,001 près. La durée de vie X (en années) d'un composant électronique fabriqué dans l'usine SansGong suit une loi de densité $f$ définie par $f(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{9}x^2$ sur $[0,3]$.
On achète un composant :
1. Montrer que $f$ définit une fonction de densité de probabilité sur $[0,3]$.
2. Quelle est la probabilité $P_1$ qu'il soit hors d'usage avant un an ?
3. Quelle est la probabilité $P_2$ qu'il casse pendant la deuxième année ?
Exercice 2 : (14 points)
Soit $f$ la fonction définie sur $[0,5;10]$ par $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ dont la courbe représentative C$f$ est tracée ci-dessous.
1. a) Montrer que pour tout $x \in [0,5;10], f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$.
b) Étudier le signe de $f'$ puis en déduire le tableau de variation de $f$.
2. a) Donner une équation de la tangente (T) à la courbe C$f$ au point d'abscisse 1.
b) Tracer (T) en expliquant la méthode utilisée.
3. a) Montrer que pour tout $x \in [0,5;10], f''(x)=\frac{-3+2\ln x}{x^3}$.
b) Étudier le signe de $f''$.
c) En déduire que C$f$ admet un point d'inflexion E dont on précisera les coordonnées.
d) Quelle particularité a la tangente à la courbe C$f$ au point E.
